Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82379 / 19764
↖ ↑ ↗
← N 77.281113°
E 46.260681°		 ← 67.24 m → N 77.281113°
E 46.263428°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.280508°
E 46.260681°		 ← 67.25 m →
4 524 m²		 N 77.280508°
E 46.263428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628505706787109 y=0.150791168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628505706787109 × 217)
    floor (0.628505706787109 × 131072)
    floor (82379.5)     		tx = 82379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150791168212891 × 217)
    floor (0.150791168212891 × 131072)
    floor (19764.5)     		ty = 19764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82379 / 19764 ti = "17/82379/19764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82379/19764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82379 ÷ 217
    82379 ÷ 131072     		x = 0.628501892089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19764 ÷ 217
    19764 ÷ 131072     		y = 0.150787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628501892089844 × 2 - 1) × π
    0.257003784179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.80740120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150787353515625 × 2 - 1) × π
    0.69842529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19416776940921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80740120} λ = 0.80740120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19416776940921))-π/2
    2×atan(8.97253073418124)-π/2
    2×1.45980310156187-π/2
    2.91960620312375-1.57079632675     		φ = 1.34880988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80740120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.260681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34880988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.281113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82379 KachelY 19764 0.80740120 1.34880988 46.260681 77.281113
    Oben rechts KachelX + 1 82380 KachelY 19764 0.80744914 1.34880988 46.263428 77.281113
    Unten links KachelX 82379 KachelY + 1 19765 0.80740120 1.34879932 46.260681 77.280508
    Unten rechts KachelX + 1 82380 KachelY + 1 19765 0.80744914 1.34879932 46.263428 77.280508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34880988-1.34879932) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34880988-1.34879932) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80740120-0.80744914) × cos(1.34880988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220167759602592 × 6371000     		do = 67.2449009007196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80740120-0.80744914) × cos(1.34879932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220178060469275 × 6371000     		du = 67.2480470505489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34880988)-sin(1.34879932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220167759602592-0.220178060469275)×R²
    abs(0.80744914-0.80740120)×1.03008666831328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03008666831328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03008666831328e-05×40589641000000     		ar = 4524.19213702986m²