Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82368 / 15936
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
E 46.230468°		 ← 56.18 m → N 79.400084°
E 46.233215°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.399579°
E 46.230468°		 ← 56.19 m →
3 157 m²		 N 79.399579°
E 46.233215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628421783447266 y=0.121585845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628421783447266 × 217)
    floor (0.628421783447266 × 131072)
    floor (82368.5)     		tx = 82368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121585845947266 × 217)
    floor (0.121585845947266 × 131072)
    floor (15936.5)     		ty = 15936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82368 / 15936 ti = "17/82368/15936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82368/15936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82368 ÷ 217
    82368 ÷ 131072     		x = 0.62841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15936 ÷ 217
    15936 ÷ 131072     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    0.2568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80687389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80687389} λ = 0.80687389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80687389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.230468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82368 KachelY 15936 0.80687389 1.38579290 46.230468 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 82369 KachelY 15936 0.80692183 1.38579290 46.233215 79.400084
    Unten links KachelX 82368 KachelY + 1 15937 0.80687389 1.38578408 46.230468 79.399579
    Unten rechts KachelX + 1 82369 KachelY + 1 15937 0.80692183 1.38578408 46.233215 79.399579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38578408) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38578408) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80687389-0.80692183) × cos(1.38579290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 56.1830348947819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80687389-0.80692183) × cos(1.38578408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183958571332904 × 6371000     		du = 56.1856827786582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38578408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.183958571332904)×R²
    abs(0.80692183-0.80687389)×8.66948501568321e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66948501568321e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66948501568321e-06×40589641000000     		ar = 3157.12385226418m²