Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8236 / 8115
↖ ↑ ↗
← N 79.250513°
W134.758301°		 ← 113.92 m → N 79.250513°
W134.752808°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 79.249488°
W134.758301°		 ← 113.93 m →
12 985 m²		 N 79.249488°
W134.752808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125679016113281 y=0.123832702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125679016113281 × 216)
    floor (0.125679016113281 × 65536)
    floor (8236.5)     		tx = 8236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123832702636719 × 216)
    floor (0.123832702636719 × 65536)
    floor (8115.5)     		ty = 8115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8236 / 8115 ti = "16/8236/8115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8236/8115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8236 ÷ 216
    8236 ÷ 65536     		x = 0.12567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8115 ÷ 216
    8115 ÷ 65536     		y = 0.123825073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.7486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35197604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123825073242188 × 2 - 1) × π
    0.752349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36357677266649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35197604} λ = -2.35197604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36357677266649))-π/2
    2×atan(10.6289007055686)-π/2
    2×1.47698935128218-π/2
    2.95397870256436-1.57079632675     		φ = 1.38318238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35197604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38318238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.250513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8236 KachelY 8115 -2.35197604 1.38318238 -134.758301 79.250513
    Oben rechts KachelX + 1 8237 KachelY 8115 -2.35188017 1.38318238 -134.752808 79.250513
    Unten links KachelX 8236 KachelY + 1 8116 -2.35197604 1.38316449 -134.758301 79.249488
    Unten rechts KachelX + 1 8237 KachelY + 1 8116 -2.35188017 1.38316449 -134.752808 79.249488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38318238-1.38316449) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38318238-1.38316449) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35197604--2.35188017) × cos(1.38318238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186515245237009 × 6371000     		do = 113.921230709313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35197604--2.35188017) × cos(1.38316449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186532821274633 × 6371000     		du = 113.931965938139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38318238)-sin(1.38316449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186515245237009-0.186532821274633)×R²
    abs(-2.35188017--2.35197604)×1.75760376244782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75760376244782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75760376244782e-05×40589641000000     		ar = 12985.0335434867m²