Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8235 / 7735
↖ ↑ ↗
← N 79.632957°
W134.763794°		 ← 109.92 m → N 79.632957°
W134.758301°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 79.631968°
W134.763794°		 ← 109.94 m →
12 088 m²		 N 79.631968°
W134.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125663757324219 y=0.118034362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125663757324219 × 216)
    floor (0.125663757324219 × 65536)
    floor (8235.5)     		tx = 8235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118034362792969 × 216)
    floor (0.118034362792969 × 65536)
    floor (7735.5)     		ty = 7735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8235 / 7735 ti = "16/8235/7735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8235/7735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8235 ÷ 216
    8235 ÷ 65536     		x = 0.125656127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7735 ÷ 216
    7735 ÷ 65536     		y = 0.118026733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125656127929688 × 2 - 1) × π
    -0.748687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35207192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118026733398438 × 2 - 1) × π
    0.763946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40000881637773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35207192} λ = -2.35207192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40000881637773))-π/2
    2×atan(11.0232735655568)-π/2
    2×1.48032680704868-π/2
    2.96065361409735-1.57079632675     		φ = 1.38985729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35207192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.763794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38985729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.632957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8235 KachelY 7735 -2.35207192 1.38985729 -134.763794 79.632957
    Oben rechts KachelX + 1 8236 KachelY 7735 -2.35197604 1.38985729 -134.758301 79.632957
    Unten links KachelX 8235 KachelY + 1 7736 -2.35207192 1.38984003 -134.763794 79.631968
    Unten rechts KachelX + 1 8236 KachelY + 1 7736 -2.35197604 1.38984003 -134.758301 79.631968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38985729-1.38984003) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dl = 109.963459999413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38985729-1.38984003) × R
    1.72599999999079e-05 × 6371000     		dr = 109.963459999413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35207192--2.35197604) × cos(1.38985729) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.179953359784756 × 6371000     		do = 109.924776155928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35207192--2.35197604) × cos(1.38984003) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.179970337990931 × 6371000     		du = 109.935147318297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38985729)-sin(1.38984003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179953359784756-0.179970337990931)×R²
    abs(-2.35197604--2.35207192)×1.69782061743284e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.69782061743284e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.69782061743284e-05×40589641000000     		ar = 12088.2789506077m²