Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82348 / 19316
↖ ↑ ↗
← N 77.549204°
E 46.175537°		 ← 65.84 m → N 77.549204°
E 46.178284°		 →
↑
65.81 m
↓
↑
65.81 m
↓
N 77.548612°
E 46.175537°		 ← 65.84 m →
4 333 m²		 N 77.548612°
E 46.178284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628269195556641 y=0.147373199462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628269195556641 × 217)
    floor (0.628269195556641 × 131072)
    floor (82348.5)     		tx = 82348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147373199462891 × 217)
    floor (0.147373199462891 × 131072)
    floor (19316.5)     		ty = 19316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82348 / 19316 ti = "17/82348/19316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82348/19316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82348 ÷ 217
    82348 ÷ 131072     		x = 0.628265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19316 ÷ 217
    19316 ÷ 131072     		y = 0.147369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628265380859375 × 2 - 1) × π
    0.25653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80591516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147369384765625 × 2 - 1) × π
    0.70526123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.215643500439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80591516} λ = 0.80591516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.215643500439))-π/2
    2×atan(9.16730637963773)-π/2
    2×1.46214263401174-π/2
    2.92428526802348-1.57079632675     		φ = 1.35348894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80591516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35348894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.549204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82348 KachelY 19316 0.80591516 1.35348894 46.175537 77.549204
    Oben rechts KachelX + 1 82349 KachelY 19316 0.80596309 1.35348894 46.178284 77.549204
    Unten links KachelX 82348 KachelY + 1 19317 0.80591516 1.35347861 46.175537 77.548612
    Unten rechts KachelX + 1 82349 KachelY + 1 19317 0.80596309 1.35347861 46.178284 77.548612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35348894-1.35347861) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dl = 65.8124300003717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35348894-1.35347861) × R
    1.03300000000583e-05 × 6371000     		dr = 65.8124300003717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80591516-0.80596309) × cos(1.35348894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215601120797196 × 6371000     		do = 65.8363959169474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80591516-0.80596309) × cos(1.35347861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215611207839783 × 6371000     		du = 65.8394761167484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35348894)-sin(1.35347861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215601120797196-0.215611207839783)×R²
    abs(0.80596309-0.80591516)×1.00870425866206e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00870425866206e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00870425866206e-05×40589641000000     		ar = 4332.95455547104m²