Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82344 / 19268
↖ ↑ ↗
← N 77.577596°
E 46.164551°		 ← 65.70 m → N 77.577596°
E 46.167298°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.577005°
E 46.164551°		 ← 65.71 m →
4 320 m²		 N 77.577005°
E 46.167298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628238677978516 y=0.147006988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628238677978516 × 217)
    floor (0.628238677978516 × 131072)
    floor (82344.5)     		tx = 82344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147006988525391 × 217)
    floor (0.147006988525391 × 131072)
    floor (19268.5)     		ty = 19268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82344 / 19268 ti = "17/82344/19268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82344/19268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82344 ÷ 217
    82344 ÷ 131072     		x = 0.62823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19268 ÷ 217
    19268 ÷ 131072     		y = 0.147003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    0.2564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80572341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147003173828125 × 2 - 1) × π
    0.70599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21794447162076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80572341} λ = 0.80572341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21794447162076))-π/2
    2×atan(9.18842437406257)-π/2
    2×1.46239040152988-π/2
    2.92478080305975-1.57079632675     		φ = 1.35398448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80572341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35398448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.577596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82344 KachelY 19268 0.80572341 1.35398448 46.164551 77.577596
    Oben rechts KachelX + 1 82345 KachelY 19268 0.80577135 1.35398448 46.167298 77.577596
    Unten links KachelX 82344 KachelY + 1 19269 0.80572341 1.35397416 46.164551 77.577005
    Unten rechts KachelX + 1 82345 KachelY + 1 19269 0.80577135 1.35397416 46.167298 77.577005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35398448-1.35397416) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dl = 65.7487200007589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35398448-1.35397416) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dr = 65.7487200007589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80572341-0.80577135) × cos(1.35398448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215117208693642 × 6371000     		do = 65.7023326519469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80572341-0.80577135) × cos(1.35397416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215127287072802 × 6371000     		du = 65.70541084836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35398448)-sin(1.35397416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215117208693642-0.215127287072802)×R²
    abs(0.80577135-0.80572341)×1.00783791604497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00783791604497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00783791604497e-05×40589641000000     		ar = 4319.9454667508m²