Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82343 / 19333
↖ ↑ ↗
← N 77.539133°
E 46.161804°		 ← 65.90 m → N 77.539133°
E 46.164551°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.538541°
E 46.161804°		 ← 65.91 m →
4 342 m²		 N 77.538541°
E 46.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628231048583984 y=0.147502899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628231048583984 × 217)
    floor (0.628231048583984 × 131072)
    floor (82343.5)     		tx = 82343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147502899169922 × 217)
    floor (0.147502899169922 × 131072)
    floor (19333.5)     		ty = 19333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82343 / 19333 ti = "17/82343/19333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82343/19333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82343 ÷ 217
    82343 ÷ 131072     		x = 0.628227233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19333 ÷ 217
    19333 ÷ 131072     		y = 0.147499084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628227233886719 × 2 - 1) × π
    0.256454467773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.80567547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147499084472656 × 2 - 1) × π
    0.705001831054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.21482857314545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80567547} λ = 0.80567547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21482857314545))-π/2
    2×atan(9.15983873466783)-π/2
    2×1.46205474943081-π/2
    2.92410949886162-1.57079632675     		φ = 1.35331317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80567547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.161804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35331317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.539133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82343 KachelY 19333 0.80567547 1.35331317 46.161804 77.539133
    Oben rechts KachelX + 1 82344 KachelY 19333 0.80572341 1.35331317 46.164551 77.539133
    Unten links KachelX 82343 KachelY + 1 19334 0.80567547 1.35330283 46.161804 77.538541
    Unten rechts KachelX + 1 82344 KachelY + 1 19334 0.80572341 1.35330283 46.164551 77.538541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35331317-1.35330283) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35331317-1.35330283) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80567547-0.80572341) × cos(1.35331317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215772753622378 × 6371000     		do = 65.9025529470618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80567547-0.80572341) × cos(1.35330283) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215782850037745 × 6371000     		du = 65.9056366521967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35331317)-sin(1.35330283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215772753622378-0.215782850037745)×R²
    abs(0.80572341-0.80567547)×1.00964153675054e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00964153675054e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00964153675054e-05×40589641000000     		ar = 4341.50737552514m²