Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82342 / 19270
↖ ↑ ↗
← N 77.576414°
E 46.159058°		 ← 65.69 m → N 77.576414°
E 46.161804°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.575824°
E 46.159058°		 ← 65.70 m →
4 315 m²		 N 77.575824°
E 46.161804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628223419189453 y=0.147022247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628223419189453 × 217)
    floor (0.628223419189453 × 131072)
    floor (82342.5)     		tx = 82342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147022247314453 × 217)
    floor (0.147022247314453 × 131072)
    floor (19270.5)     		ty = 19270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82342 / 19270 ti = "17/82342/19270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82342/19270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82342 ÷ 217
    82342 ÷ 131072     		x = 0.628219604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19270 ÷ 217
    19270 ÷ 131072     		y = 0.147018432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628219604492188 × 2 - 1) × π
    0.256439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80562754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147018432617188 × 2 - 1) × π
    0.705963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21784859782152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80562754} λ = 0.80562754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21784859782152))-π/2
    2×atan(9.18754348713647)-π/2
    2×1.46238008899489-π/2
    2.92476017798979-1.57079632675     		φ = 1.35396385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80562754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.159058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35396385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.576414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82342 KachelY 19270 0.80562754 1.35396385 46.159058 77.576414
    Oben rechts KachelX + 1 82343 KachelY 19270 0.80567547 1.35396385 46.161804 77.576414
    Unten links KachelX 82342 KachelY + 1 19271 0.80562754 1.35395354 46.159058 77.575824
    Unten rechts KachelX + 1 82343 KachelY + 1 19271 0.80567547 1.35395354 46.161804 77.575824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35396385-1.35395354) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35396385-1.35395354) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80562754-0.80567547) × cos(1.35396385) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.215137355663213 × 6371000     		do = 65.6947796540388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80562754-0.80567547) × cos(1.35395354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.215147424230756 × 6371000     		du = 65.6978542122628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35396385)-sin(1.35395354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215137355663213-0.215147424230756)×R²
    abs(0.80567547-0.80562754)×1.00685675424594e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.00685675424594e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.00685675424594e-05×40589641000000     		ar = 4315.26323471744m²