Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82340 / 19264
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
E 46.153564°		 ← 65.69 m → N 77.579959°
E 46.156311°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.579368°
E 46.153564°		 ← 65.69 m →
4 315 m²		 N 77.579368°
E 46.156311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628208160400391 y=0.146976470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628208160400391 × 217)
    floor (0.628208160400391 × 131072)
    floor (82340.5)     		tx = 82340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146976470947266 × 217)
    floor (0.146976470947266 × 131072)
    floor (19264.5)     		ty = 19264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82340 / 19264 ti = "17/82340/19264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82340/19264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82340 ÷ 217
    82340 ÷ 131072     		x = 0.628204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19264 ÷ 217
    19264 ÷ 131072     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628204345703125 × 2 - 1) × π
    0.25640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80553166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80553166} λ = 0.80553166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80553166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.153564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82340 KachelY 19264 0.80553166 1.35402572 46.153564 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 82341 KachelY 19264 0.80557960 1.35402572 46.156311 77.579959
    Unten links KachelX 82340 KachelY + 1 19265 0.80553166 1.35401541 46.153564 77.579368
    Unten rechts KachelX + 1 82341 KachelY + 1 19265 0.80557960 1.35401541 46.156311 77.579368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35401541) × R
    1.03100000001799e-05 × 6371000     		dl = 65.6850100011461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35401541) × R
    1.03100000001799e-05 × 6371000     		dr = 65.6850100011461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80553166-0.80557960) × cos(1.35402572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 65.6900317274393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80553166-0.80557960) × cos(1.35401541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215087002716549 × 6371000     		du = 65.693106969041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35401541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215087002716549)×R²
    abs(0.80557960-0.80553166)×1.00687047583647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00687047583647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00687047583647e-05×40589641000000     		ar = 4314.95138964585m²