Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8234 / 4478
↖ ↑ ↗
← N 62.935235°
E  0.922852°		 ← 1 111.66 m → N 62.935235°
E  0.944824°		 →
↑
1 111.87 m
↓
↑
1 111.87 m
↓
N 62.925235°
E  0.922852°		 ← 1 112.04 m →
1 236 225 m²		 N 62.925235°
E  0.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502593994140625 y=0.273345947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502593994140625 × 214)
    floor (0.502593994140625 × 16384)
    floor (8234.5)     		tx = 8234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273345947265625 × 214)
    floor (0.273345947265625 × 16384)
    floor (4478.5)     		ty = 4478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8234 / 4478 ti = "14/8234/4478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8234/4478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8234 ÷ 214
    8234 ÷ 16384     		x = 0.5025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4478 ÷ 214
    4478 ÷ 16384     		y = 0.2733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5025634765625 × 2 - 1) × π
    0.005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01610680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2733154296875 × 2 - 1) × π
    0.453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42430116151111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01610680} λ = 0.01610680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42430116151111))-π/2
    2×atan(4.15495318672508)-π/2
    2×1.33461169539219-π/2
    2.66922339078437-1.57079632675     		φ = 1.09842706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01610680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.922852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09842706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.935235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8234 KachelY 4478 0.01610680 1.09842706 0.922852 62.935235
    Oben rechts KachelX + 1 8235 KachelY 4478 0.01649029 1.09842706 0.944824 62.935235
    Unten links KachelX 8234 KachelY + 1 4479 0.01610680 1.09825254 0.922852 62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 8235 KachelY + 1 4479 0.01649029 1.09825254 0.944824 62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09842706-1.09825254) × R
    0.000174519999999845 × 6371000     		dl = 1111.86691999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09842706-1.09825254) × R
    0.000174519999999845 × 6371000     		dr = 1111.86691999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01610680-0.01649029) × cos(1.09842706) × R
    0.00038349 × 0.454997375422371 × 6371000     		do = 1111.65631704312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01610680-0.01649029) × cos(1.09825254) × R
    0.00038349 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 1112.03599719009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09842706)-sin(1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454997375422371-0.455152777292286)×R²
    abs(0.01649029-0.01610680)×0.000155401869915084×R²
    0.00038349×0.000155401869915084×6371000²
    0.00038349×0.000155401869915084×40589641000000     		ar = 1236224.96536292m²