Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82330 / 19258
↖ ↑ ↗
← N 77.583503°
E 46.126099°		 ← 65.67 m → N 77.583503°
E 46.128845°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.582913°
E 46.126099°		 ← 65.67 m →
4 310 m²		 N 77.582913°
E 46.128845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628131866455078 y=0.146930694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628131866455078 × 217)
    floor (0.628131866455078 × 131072)
    floor (82330.5)     		tx = 82330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146930694580078 × 217)
    floor (0.146930694580078 × 131072)
    floor (19258.5)     		ty = 19258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82330 / 19258 ti = "17/82330/19258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82330/19258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82330 ÷ 217
    82330 ÷ 131072     		x = 0.628128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19258 ÷ 217
    19258 ÷ 131072     		y = 0.146926879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628128051757812 × 2 - 1) × π
    0.256256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80505229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146926879882812 × 2 - 1) × π
    0.706146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21842384061696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80505229} λ = 0.80505229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21842384061696))-π/2
    2×atan(9.19283007572546)-π/2
    2×1.46244194972387-π/2
    2.92488389944775-1.57079632675     		φ = 1.35408757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80505229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.126099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35408757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.583503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82330 KachelY 19258 0.80505229 1.35408757 46.126099 77.583503
    Oben rechts KachelX + 1 82331 KachelY 19258 0.80510023 1.35408757 46.128845 77.583503
    Unten links KachelX 82330 KachelY + 1 19259 0.80505229 1.35407727 46.126099 77.582913
    Unten rechts KachelX + 1 82331 KachelY + 1 19259 0.80510023 1.35407727 46.128845 77.582913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35408757-1.35407727) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dl = 65.621299998704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35408757-1.35407727) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dr = 65.621299998704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80505229-0.80510023) × cos(1.35408757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215016531069285 × 6371000     		do = 65.6715831140262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80505229-0.80510023) × cos(1.35407727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215026590145094 × 6371000     		du = 65.6746554146989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35408757)-sin(1.35407727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215016531069285-0.215026590145094)×R²
    abs(0.80510023-0.80505229)×1.00590758088936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00590758088936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00590758088936e-05×40589641000000     		ar = 4309.55546103572m²