Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82330 / 19250
↖ ↑ ↗
← N 77.588227°
E 46.126099°		 ← 65.65 m → N 77.588227°
E 46.128845°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.587636°
E 46.126099°		 ← 65.65 m →
4 312 m²		 N 77.587636°
E 46.128845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628131866455078 y=0.146869659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628131866455078 × 217)
    floor (0.628131866455078 × 131072)
    floor (82330.5)     		tx = 82330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146869659423828 × 217)
    floor (0.146869659423828 × 131072)
    floor (19250.5)     		ty = 19250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82330 / 19250 ti = "17/82330/19250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82330/19250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82330 ÷ 217
    82330 ÷ 131072     		x = 0.628128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19250 ÷ 217
    19250 ÷ 131072     		y = 0.146865844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628128051757812 × 2 - 1) × π
    0.256256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80505229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146865844726562 × 2 - 1) × π
    0.706268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21880733581392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80505229} λ = 0.80505229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21880733581392))-π/2
    2×atan(9.19635615798056)-π/2
    2×1.46248317090712-π/2
    2.92496634181425-1.57079632675     		φ = 1.35417002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80505229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.126099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35417002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.588227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82330 KachelY 19250 0.80505229 1.35417002 46.126099 77.588227
    Oben rechts KachelX + 1 82331 KachelY 19250 0.80510023 1.35417002 46.128845 77.588227
    Unten links KachelX 82330 KachelY + 1 19251 0.80505229 1.35415971 46.126099 77.587636
    Unten rechts KachelX + 1 82331 KachelY + 1 19251 0.80510023 1.35415971 46.128845 77.587636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35417002-1.35415971) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35417002-1.35415971) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80505229-0.80510023) × cos(1.35417002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214936008810296 × 6371000     		do = 65.646989543488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80505229-0.80510023) × cos(1.35415971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214946077834933 × 6371000     		du = 65.6500648827891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35417002)-sin(1.35415971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214936008810296-0.214946077834933)×R²
    abs(0.80510023-0.80505229)×1.00690246378765e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00690246378765e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00690246378765e-05×40589641000000     		ar = 4312.12416650016m²