Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8233 / 9432
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
E  0.900879°		 ← 2 190.86 m → S 26.273714°
E  0.922852°		 →
↑
2 190.60 m
↓
↑
2 190.60 m
↓
S 26.293415°
E  0.900879°		 ← 2 190.49 m →
4 798 906 m²		 S 26.293415°
E  0.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502532958984375 y=0.575714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502532958984375 × 214)
    floor (0.502532958984375 × 16384)
    floor (8233.5)     		tx = 8233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575714111328125 × 214)
    floor (0.575714111328125 × 16384)
    floor (9432.5)     		ty = 9432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8233 / 9432 ti = "14/8233/9432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8233/9432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8233 ÷ 214
    8233 ÷ 16384     		x = 0.50250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9432 ÷ 214
    9432 ÷ 16384     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50250244140625 × 2 - 1) × π
    0.0050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01572330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01572330} λ = 0.01572330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01572330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8233 KachelY 9432 0.01572330 -0.45856282 0.900879 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 8234 KachelY 9432 0.01610680 -0.45856282 0.922852 -26.273714
    Unten links KachelX 8233 KachelY + 1 9433 0.01572330 -0.45890666 0.900879 -26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 8234 KachelY + 1 9433 0.01610680 -0.45890666 0.922852 -26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.45890666) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dl = 2190.60464000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.45890666) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dr = 2190.60464000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01572330-0.01610680) × cos(-0.45856282) × R
    0.000383500000000002 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 2190.86243369135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01572330-0.01610680) × cos(-0.45890666) × R
    0.000383500000000002 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 2190.49042702308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896537348084991)×R²
    abs(0.01610680-0.01572330)×0.000152257169318548×R²
    0.000383500000000002×0.000152257169318548×6371000²
    0.000383500000000002×0.000152257169318548×40589641000000     		ar = 4798906.00035969m²