Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8233 / 7737
↖ ↑ ↗
← N 79.630980°
W134.774780°		 ← 109.93 m → N 79.630980°
W134.769287°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 79.629991°
W134.774780°		 ← 109.94 m →
12 089 m²		 N 79.629991°
W134.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125633239746094 y=0.118064880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125633239746094 × 216)
    floor (0.125633239746094 × 65536)
    floor (8233.5)     		tx = 8233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118064880371094 × 216)
    floor (0.118064880371094 × 65536)
    floor (7737.5)     		ty = 7737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8233 / 7737 ti = "16/8233/7737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8233/7737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8233 ÷ 216
    8233 ÷ 65536     		x = 0.125625610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7737 ÷ 216
    7737 ÷ 65536     		y = 0.118057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125625610351562 × 2 - 1) × π
    -0.748748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35226366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118057250976562 × 2 - 1) × π
    0.763885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39981706877925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35226366} λ = -2.35226366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39981706877925))-π/2
    2×atan(11.0211600819574)-π/2
    2×1.48030955260894-π/2
    2.96061910521789-1.57079632675     		φ = 1.38982278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35226366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.774780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38982278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.630980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8233 KachelY 7737 -2.35226366 1.38982278 -134.774780 79.630980
    Oben rechts KachelX + 1 8234 KachelY 7737 -2.35216779 1.38982278 -134.769287 79.630980
    Unten links KachelX 8233 KachelY + 1 7738 -2.35226366 1.38980552 -134.774780 79.629991
    Unten rechts KachelX + 1 8234 KachelY + 1 7738 -2.35216779 1.38980552 -134.769287 79.629991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38982278-1.38980552) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38982278-1.38980552) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35226366--2.35216779) × cos(1.38982278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179987306306801 × 6371000     		do = 109.934045447436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35226366--2.35216779) × cos(1.38980552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180004284405773 × 6371000     		du = 109.944415462645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38982278)-sin(1.38980552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179987306306801-0.180004284405773)×R²
    abs(-2.35216779--2.35226366)×1.69780989714985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69780989714985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69780989714985e-05×40589641000000     		ar = 12089.2981710879m²