Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82329 / 19226
↖ ↑ ↗
← N 77.602387°
E 46.123352°		 ← 65.56 m → N 77.602387°
E 46.126099°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.601797°
E 46.123352°		 ← 65.56 m →
4 302 m²		 N 77.601797°
E 46.126099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628124237060547 y=0.146686553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628124237060547 × 217)
    floor (0.628124237060547 × 131072)
    floor (82329.5)     		tx = 82329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146686553955078 × 217)
    floor (0.146686553955078 × 131072)
    floor (19226.5)     		ty = 19226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82329 / 19226 ti = "17/82329/19226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82329/19226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82329 ÷ 217
    82329 ÷ 131072     		x = 0.628120422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19226 ÷ 217
    19226 ÷ 131072     		y = 0.146682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628120422363281 × 2 - 1) × π
    0.256240844726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.80500436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146682739257812 × 2 - 1) × π
    0.706634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2199578214048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80500436} λ = 0.80500436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2199578214048))-π/2
    2×atan(9.20694252179075)-π/2
    2×1.46260674186426-π/2
    2.92521348372852-1.57079632675     		φ = 1.35441716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80500436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.123352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35441716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.602387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82329 KachelY 19226 0.80500436 1.35441716 46.123352 77.602387
    Oben rechts KachelX + 1 82330 KachelY 19226 0.80505229 1.35441716 46.126099 77.602387
    Unten links KachelX 82329 KachelY + 1 19227 0.80500436 1.35440686 46.123352 77.601797
    Unten rechts KachelX + 1 82330 KachelY + 1 19227 0.80505229 1.35440686 46.126099 77.601797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35441716-1.35440686) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dl = 65.621299998704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35441716-1.35440686) × R
    1.02999999997966e-05 × 6371000     		dr = 65.621299998704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80500436-0.80505229) × cos(1.35441716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214694638371766 × 6371000     		do = 65.5595906033586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80500436-0.80505229) × cos(1.35440686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214704698176979 × 6371000     		du = 65.5626624858998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35441716)-sin(1.35440686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214694638371766-0.214704698176979)×R²
    abs(0.80505229-0.80500436)×1.00598052127643e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00598052127643e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00598052127643e-05×40589641000000     		ar = 4302.20635324469m²