Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82327 / 19263
↖ ↑ ↗
← N 77.580550°
E 46.117859°		 ← 65.69 m → N 77.580550°
E 46.120606°		 →
↑
65.69 m
↓
↑
65.69 m
↓
N 77.579959°
E 46.117859°		 ← 65.69 m →
4 315 m²		 N 77.579959°
E 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628108978271484 y=0.146968841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628108978271484 × 217)
    floor (0.628108978271484 × 131072)
    floor (82327.5)     		tx = 82327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146968841552734 × 217)
    floor (0.146968841552734 × 131072)
    floor (19263.5)     		ty = 19263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82327 / 19263 ti = "17/82327/19263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82327/19263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82327 ÷ 217
    82327 ÷ 131072     		x = 0.628105163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19263 ÷ 217
    19263 ÷ 131072     		y = 0.146965026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628105163574219 × 2 - 1) × π
    0.256210327148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.80490848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146965026855469 × 2 - 1) × π
    0.706069946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21818415611886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80490848} λ = 0.80490848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21818415611886))-π/2
    2×atan(9.19062696089942)-π/2
    2×1.46241617864342-π/2
    2.92483235728684-1.57079632675     		φ = 1.35403603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80490848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.117859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35403603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.580550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82327 KachelY 19263 0.80490848 1.35403603 46.117859 77.580550
    Oben rechts KachelX + 1 82328 KachelY 19263 0.80495642 1.35403603 46.120606 77.580550
    Unten links KachelX 82327 KachelY + 1 19264 0.80490848 1.35402572 46.117859 77.579959
    Unten rechts KachelX + 1 82328 KachelY + 1 19264 0.80495642 1.35402572 46.120606 77.579959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35403603-1.35402572) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dl = 65.6850099997315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35403603-1.35402572) × R
    1.03099999999579e-05 × 6371000     		dr = 65.6850099997315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80490848-0.80495642) × cos(1.35403603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215066865284171 × 6371000     		do = 65.6869564788551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80490848-0.80495642) × cos(1.35402572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215076934011791 × 6371000     		du = 65.6900317274393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35403603)-sin(1.35402572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215066865284171-0.215076934011791)×R²
    abs(0.80495642-0.80490848)×1.0068727619994e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0068727619994e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0068727619994e-05×40589641000000     		ar = 4314.74939203721m²