Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82323 / 19242
↖ ↑ ↗
← N 77.592949°
E 46.106872°		 ← 65.62 m → N 77.592949°
E 46.109619°		 →
↑
65.62 m
↓
↑
65.62 m
↓
N 77.592358°
E 46.106872°		 ← 65.63 m →
4 306 m²		 N 77.592358°
E 46.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628078460693359 y=0.146808624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628078460693359 × 217)
    floor (0.628078460693359 × 131072)
    floor (82323.5)     		tx = 82323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146808624267578 × 217)
    floor (0.146808624267578 × 131072)
    floor (19242.5)     		ty = 19242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82323 / 19242 ti = "17/82323/19242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82323/19242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82323 ÷ 217
    82323 ÷ 131072     		x = 0.628074645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19242 ÷ 217
    19242 ÷ 131072     		y = 0.146804809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628074645996094 × 2 - 1) × π
    0.256149291992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.80471673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146804809570312 × 2 - 1) × π
    0.706390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21919083101088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80471673} λ = 0.80471673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21919083101088))-π/2
    2×atan(9.1998835927306)-π/2
    2×1.4625243766546-π/2
    2.92504875330921-1.57079632675     		φ = 1.35425243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80471673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.106872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35425243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.592949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82323 KachelY 19242 0.80471673 1.35425243 46.106872 77.592949
    Oben rechts KachelX + 1 82324 KachelY 19242 0.80476467 1.35425243 46.109619 77.592949
    Unten links KachelX 82323 KachelY + 1 19243 0.80471673 1.35424213 46.106872 77.592358
    Unten rechts KachelX + 1 82324 KachelY + 1 19243 0.80476467 1.35424213 46.109619 77.592358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35425243-1.35424213) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dl = 65.6213000001187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35425243-1.35424213) × R
    1.03000000000186e-05 × 6371000     		dr = 65.6213000001187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80471673-0.80476467) × cos(1.35425243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214855524156005 × 6371000     		do = 65.6224074583926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80471673-0.80476467) × cos(1.35424213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214865583596796 × 6371000     		du = 65.6254798705403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35425243)-sin(1.35424213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214855524156005-0.214865583596796)×R²
    abs(0.80476467-0.80471673)×1.00594407914656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00594407914656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00594407914656e-05×40589641000000     		ar = 4306.32849445124m²