Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8232 / 7919
↖ ↑ ↗
← N 79.449483°
W134.780274°		 ← 111.85 m → N 79.449483°
W134.774780°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
N 79.448478°
W134.780274°		 ← 111.86 m →
12 506 m²		 N 79.448478°
W134.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125617980957031 y=0.120841979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125617980957031 × 216)
    floor (0.125617980957031 × 65536)
    floor (8232.5)     		tx = 8232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120841979980469 × 216)
    floor (0.120841979980469 × 65536)
    floor (7919.5)     		ty = 7919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8232 / 7919 ti = "16/8232/7919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8232/7919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8232 ÷ 216
    8232 ÷ 65536     		x = 0.1256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7919 ÷ 216
    7919 ÷ 65536     		y = 0.120834350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35235954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120834350585938 × 2 - 1) × π
    0.758331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38236803731755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35235954} λ = -2.35235954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38236803731755))-π/2
    2×atan(10.8305195958434)-π/2
    2×1.47872569932477-π/2
    2.95745139864953-1.57079632675     		φ = 1.38665507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35235954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.780274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38665507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.449483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8232 KachelY 7919 -2.35235954 1.38665507 -134.780274 79.449483
    Oben rechts KachelX + 1 8233 KachelY 7919 -2.35226366 1.38665507 -134.774780 79.449483
    Unten links KachelX 8232 KachelY + 1 7920 -2.35235954 1.38663752 -134.780274 79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 8233 KachelY + 1 7920 -2.35226366 1.38663752 -134.774780 79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38665507-1.38663752) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38665507-1.38663752) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35235954--2.35226366) × cos(1.38665507) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183102375980755 × 6371000     		do = 111.848357359287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35235954--2.35226366) × cos(1.38663752) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 111.858896544122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38665507)-sin(1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183102375980755-0.183119629249642)×R²
    abs(-2.35226366--2.35235954)×1.72532688864357e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72532688864357e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72532688864357e-05×40589641000000     		ar = 12506.4714760384m²