Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82317 / 19345
↖ ↑ ↗
← N 77.532020°
E 46.090393°		 ← 65.94 m → N 77.532020°
E 46.093140°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.531427°
E 46.090393°		 ← 65.94 m →
4 348 m²		 N 77.531427°
E 46.093140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628032684326172 y=0.147594451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628032684326172 × 217)
    floor (0.628032684326172 × 131072)
    floor (82317.5)     		tx = 82317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147594451904297 × 217)
    floor (0.147594451904297 × 131072)
    floor (19345.5)     		ty = 19345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82317 / 19345 ti = "17/82317/19345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82317/19345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82317 ÷ 217
    82317 ÷ 131072     		x = 0.628028869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19345 ÷ 217
    19345 ÷ 131072     		y = 0.147590637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628028869628906 × 2 - 1) × π
    0.256057739257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.80442911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147590637207031 × 2 - 1) × π
    0.704818725585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21425333035001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80442911} λ = 0.80442911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21425333035001))-π/2
    2×atan(9.15457111865265)-π/2
    2×1.46199267113775-π/2
    2.9239853422755-1.57079632675     		φ = 1.35318902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80442911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.090393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35318902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.532020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82317 KachelY 19345 0.80442911 1.35318902 46.090393 77.532020
    Oben rechts KachelX + 1 82318 KachelY 19345 0.80447705 1.35318902 46.093140 77.532020
    Unten links KachelX 82317 KachelY + 1 19346 0.80442911 1.35317867 46.090393 77.531427
    Unten rechts KachelX + 1 82318 KachelY + 1 19346 0.80447705 1.35317867 46.093140 77.531427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35318902-1.35317867) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dl = 65.939850001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35318902-1.35317867) × R
    1.03500000001588e-05 × 6371000     		dr = 65.939850001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80442911-0.80447705) × cos(1.35318902) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215893977433071 × 6371000     		do = 65.9395778191485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80442911-0.80447705) × cos(1.35317867) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.215904083335511 × 6371000     		du = 65.9426644218794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35318902)-sin(1.35317867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215893977433071-0.215904083335511)×R²
    abs(0.80447705-0.80442911)×1.0105902439328e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0105902439328e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0105902439328e-05×40589641000000     		ar = 4348.14763557929m²