Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82308 / 19324
↖ ↑ ↗
← N 77.544466°
E 46.065674°		 ← 65.87 m → N 77.544466°
E 46.068421°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.543873°
E 46.065674°		 ← 65.88 m →
4 340 m²		 N 77.543873°
E 46.068421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627964019775391 y=0.147434234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627964019775391 × 217)
    floor (0.627964019775391 × 131072)
    floor (82308.5)     		tx = 82308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147434234619141 × 217)
    floor (0.147434234619141 × 131072)
    floor (19324.5)     		ty = 19324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82308 / 19324 ti = "17/82308/19324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82308/19324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82308 ÷ 217
    82308 ÷ 131072     		x = 0.627960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19324 ÷ 217
    19324 ÷ 131072     		y = 0.147430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627960205078125 × 2 - 1) × π
    0.25592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80399768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147430419921875 × 2 - 1) × π
    0.70513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21526000524204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80399768} λ = 0.80399768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21526000524204))-π/2
    2×atan(9.16379143569721)-π/2
    2×1.4621012852733-π/2
    2.92420257054661-1.57079632675     		φ = 1.35340624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80399768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.065674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35340624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.544466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82308 KachelY 19324 0.80399768 1.35340624 46.065674 77.544466
    Oben rechts KachelX + 1 82309 KachelY 19324 0.80404562 1.35340624 46.068421 77.544466
    Unten links KachelX 82308 KachelY + 1 19325 0.80399768 1.35339590 46.065674 77.543873
    Unten rechts KachelX + 1 82309 KachelY + 1 19325 0.80404562 1.35339590 46.068421 77.543873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35340624-1.35339590) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35340624-1.35339590) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80399768-0.80404562) × cos(1.35340624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215681875081436 × 6371000     		do = 65.8747963012921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80399768-0.80404562) × cos(1.35339590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215691971704413 × 6371000     		du = 65.8778800698361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35340624)-sin(1.35339590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215681875081436-0.215691971704413)×R²
    abs(0.80404562-0.80399768)×1.00966229762134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00966229762134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00966229762134e-05×40589641000000     		ar = 4339.67887722865m²