Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82302 / 19326
↖ ↑ ↗
← N 77.543281°
E 46.049194°		 ← 65.88 m → N 77.543281°
E 46.051941°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.542688°
E 46.049194°		 ← 65.88 m →
4 340 m²		 N 77.542688°
E 46.051941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627918243408203 y=0.147449493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627918243408203 × 217)
    floor (0.627918243408203 × 131072)
    floor (82302.5)     		tx = 82302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147449493408203 × 217)
    floor (0.147449493408203 × 131072)
    floor (19326.5)     		ty = 19326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82302 / 19326 ti = "17/82302/19326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82302/19326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82302 ÷ 217
    82302 ÷ 131072     		x = 0.627914428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19326 ÷ 217
    19326 ÷ 131072     		y = 0.147445678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627914428710938 × 2 - 1) × π
    0.255828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80371006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147445678710938 × 2 - 1) × π
    0.705108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2151641314428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80371006} λ = 0.80371006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2151641314428))-π/2
    2×atan(9.16291291031128)-π/2
    2×1.46209094566911-π/2
    2.92418189133822-1.57079632675     		φ = 1.35338556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80371006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.049194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35338556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.543281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82302 KachelY 19326 0.80371006 1.35338556 46.049194 77.543281
    Oben rechts KachelX + 1 82303 KachelY 19326 0.80375800 1.35338556 46.051941 77.543281
    Unten links KachelX 82302 KachelY + 1 19327 0.80371006 1.35337522 46.049194 77.542688
    Unten rechts KachelX + 1 82303 KachelY + 1 19327 0.80375800 1.35337522 46.051941 77.542688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35338556-1.35337522) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35338556-1.35337522) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80371006-0.80375800) × cos(1.35338556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215702068304328 × 6371000     		do = 65.8809638313367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80371006-0.80375800) × cos(1.35337522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215712164881182 × 6371000     		du = 65.8840475857937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35338556)-sin(1.35337522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215702068304328-0.215712164881182)×R²
    abs(0.80375800-0.80371006)×1.00965768534411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00965768534411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00965768534411e-05×40589641000000     		ar = 4340.08516954267m²