Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82301 / 19339
↖ ↑ ↗
← N 77.535577°
E 46.046448°		 ← 65.92 m → N 77.535577°
E 46.049194°		 →
↑
65.88 m
↓
↑
65.88 m
↓
N 77.534984°
E 46.046448°		 ← 65.92 m →
4 343 m²		 N 77.534984°
E 46.049194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627910614013672 y=0.147548675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627910614013672 × 217)
    floor (0.627910614013672 × 131072)
    floor (82301.5)     		tx = 82301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147548675537109 × 217)
    floor (0.147548675537109 × 131072)
    floor (19339.5)     		ty = 19339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82301 / 19339 ti = "17/82301/19339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82301/19339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82301 ÷ 217
    82301 ÷ 131072     		x = 0.627906799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19339 ÷ 217
    19339 ÷ 131072     		y = 0.147544860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627906799316406 × 2 - 1) × π
    0.255813598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.80366212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147544860839844 × 2 - 1) × π
    0.704910278320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.21454095174773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80366212} λ = 0.80366212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21454095174773))-π/2
    2×atan(9.15720454789047)-π/2
    2×1.46202371464283-π/2
    2.92404742928567-1.57079632675     		φ = 1.35325110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80366212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.046448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35325110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.535577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82301 KachelY 19339 0.80366212 1.35325110 46.046448 77.535577
    Oben rechts KachelX + 1 82302 KachelY 19339 0.80371006 1.35325110 46.049194 77.535577
    Unten links KachelX 82301 KachelY + 1 19340 0.80366212 1.35324076 46.046448 77.534984
    Unten rechts KachelX + 1 82302 KachelY + 1 19340 0.80371006 1.35324076 46.049194 77.534984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35325110-1.35324076) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dl = 65.8761399999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35325110-1.35324076) × R
    1.03399999999976e-05 × 6371000     		dr = 65.8761399999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80366212-0.80371006) × cos(1.35325110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215833361061409 × 6371000     		do = 65.9210640188249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80366212-0.80371006) × cos(1.35324076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21584345733827 × 6371000     		du = 65.9241476816564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35325110)-sin(1.35324076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215833361061409-0.21584345733827)×R²
    abs(0.80371006-0.80366212)×1.00962768610768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00962768610768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00962768610768e-05×40589641000000     		ar = 4342.72681220299m²