Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82300 / 19349
↖ ↑ ↗
← N 77.529647°
E 46.043701°		 ← 65.94 m → N 77.529647°
E 46.046448°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.529054°
E 46.043701°		 ← 65.94 m →
4 348 m²		 N 77.529054°
E 46.046448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627902984619141 y=0.147624969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627902984619141 × 217)
    floor (0.627902984619141 × 131072)
    floor (82300.5)     		tx = 82300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147624969482422 × 217)
    floor (0.147624969482422 × 131072)
    floor (19349.5)     		ty = 19349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82300 / 19349 ti = "17/82300/19349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82300/19349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82300 ÷ 217
    82300 ÷ 131072     		x = 0.627899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19349 ÷ 217
    19349 ÷ 131072     		y = 0.147621154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627899169921875 × 2 - 1) × π
    0.25579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80361419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147621154785156 × 2 - 1) × π
    0.704757690429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.21406158275153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80361419} λ = 0.80361419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21406158275153))-π/2
    2×atan(9.15281591990849)-π/2
    2×1.46197197062371-π/2
    2.92394394124743-1.57079632675     		φ = 1.35314761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80361419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35314761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.529647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82300 KachelY 19349 0.80361419 1.35314761 46.043701 77.529647
    Oben rechts KachelX + 1 82301 KachelY 19349 0.80366212 1.35314761 46.046448 77.529647
    Unten links KachelX 82300 KachelY + 1 19350 0.80361419 1.35313726 46.043701 77.529054
    Unten rechts KachelX + 1 82301 KachelY + 1 19350 0.80366212 1.35313726 46.046448 77.529054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35314761-1.35313726) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35314761-1.35313726) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80361419-0.80366212) × cos(1.35314761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215934410668133 × 6371000     		do = 65.9381699885152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80361419-0.80366212) × cos(1.35313726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215944516478031 × 6371000     		du = 65.9412559191403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35314761)-sin(1.35313726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215934410668133-0.215944516478031)×R²
    abs(0.80366212-0.80361419)×1.01058098974927e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01058098974927e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01058098974927e-05×40589641000000     		ar = 4348.05478121328m²