Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 823 / 177
↖ ↑ ↗
← N 81.492306°
W 35.332031°		 ← 2 891.67 m → N 81.492306°
W 35.156250°		 →
↑
2 896.07 m
↓
↑
2 896.07 m
↓
N 81.466261°
W 35.332031°		 ← 2 900.46 m →
8 387 203 m²		 N 81.466261°
W 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402099609375 y=0.086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402099609375 × 211)
    floor (0.402099609375 × 2048)
    floor (823.5)     		tx = 823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.086669921875 × 211)
    floor (0.086669921875 × 2048)
    floor (177.5)     		ty = 177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 823 / 177 ti = "11/823/177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/823/177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 823 ÷ 211
    823 ÷ 2048     		x = 0.40185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 177 ÷ 211
    177 ÷ 2048     		y = 0.08642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61666028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08642578125 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.598563454604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61666028} λ = -0.61666028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.598563454604))-π/2
    2×atan(13.4444106497715)-π/2
    2×1.49655268920558-π/2
    2.99310537841116-1.57079632675     		φ = 1.42230905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61666028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42230905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.492306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 823 KachelY 177 -0.61666028 1.42230905 -35.332031 81.492306
    Oben rechts KachelX + 1 824 KachelY 177 -0.61359232 1.42230905 -35.156250 81.492306
    Unten links KachelX 823 KachelY + 1 178 -0.61666028 1.42185448 -35.332031 81.466261
    Unten rechts KachelX + 1 824 KachelY + 1 178 -0.61359232 1.42185448 -35.156250 81.466261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42230905-1.42185448) × R
    0.000454570000000043 × 6371000     		dl = 2896.06547000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42230905-1.42185448) × R
    0.000454570000000043 × 6371000     		dr = 2896.06547000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61666028--0.61359232) × cos(1.42230905) × R
    0.00306795999999998 × 0.147942225107967 × 6371000     		do = 2891.67476119099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61666028--0.61359232) × cos(1.42185448) × R
    0.00306795999999998 × 0.148391777721568 × 6371000     		du = 2900.46170451044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42230905)-sin(1.42185448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147942225107967-0.148391777721568)×R²
    abs(-0.61359232--0.61666028)×0.00044955261360069×R²
    0.00306795999999998×0.00044955261360069×6371000²
    0.00306795999999998×0.00044955261360069×40589641000000     		ar = 8387203.35234618m²