Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82299 / 19365
↖ ↑ ↗
← N 77.520154°
E 46.040955°		 ← 66 m → N 77.520154°
E 46.043701°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.519561°
E 46.040955°		 ← 66 m →
4 356 m²		 N 77.519561°
E 46.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627895355224609 y=0.147747039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627895355224609 × 217)
    floor (0.627895355224609 × 131072)
    floor (82299.5)     		tx = 82299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147747039794922 × 217)
    floor (0.147747039794922 × 131072)
    floor (19365.5)     		ty = 19365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82299 / 19365 ti = "17/82299/19365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82299/19365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82299 ÷ 217
    82299 ÷ 131072     		x = 0.627891540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19365 ÷ 217
    19365 ÷ 131072     		y = 0.147743225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627891540527344 × 2 - 1) × π
    0.255783081054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.80356625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147743225097656 × 2 - 1) × π
    0.704513549804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.21329459235761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80356625} λ = 0.80356625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21329459235761))-π/2
    2×atan(9.14579848951545)-π/2
    2×1.46188912980072-π/2
    2.92377825960145-1.57079632675     		φ = 1.35298193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80356625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.040955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35298193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.520154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82299 KachelY 19365 0.80356625 1.35298193 46.040955 77.520154
    Oben rechts KachelX + 1 82300 KachelY 19365 0.80361419 1.35298193 46.043701 77.520154
    Unten links KachelX 82299 KachelY + 1 19366 0.80356625 1.35297157 46.040955 77.519561
    Unten rechts KachelX + 1 82300 KachelY + 1 19366 0.80361419 1.35297157 46.043701 77.519561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35298193-1.35297157) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35298193-1.35297157) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80356625-0.80361419) × cos(1.35298193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216096178959753 × 6371000     		do = 66.0013353699118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80356625-0.80361419) × cos(1.35297157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21610629416292 × 6371000     		du = 66.0044248133243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35298193)-sin(1.35297157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216096178959753-0.21610629416292)×R²
    abs(0.80361419-0.80356625)×1.01152031669882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01152031669882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01152031669882e-05×40589641000000     		ar = 4356.4250563163m²