Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82295 / 19352
↖ ↑ ↗
← N 77.527868°
E 46.029968°		 ← 65.96 m → N 77.527868°
E 46.032715°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.527275°
E 46.029968°		 ← 65.96 m →
4 350 m²		 N 77.527275°
E 46.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627864837646484 y=0.147647857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627864837646484 × 217)
    floor (0.627864837646484 × 131072)
    floor (82295.5)     		tx = 82295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147647857666016 × 217)
    floor (0.147647857666016 × 131072)
    floor (19352.5)     		ty = 19352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82295 / 19352 ti = "17/82295/19352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82295/19352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82295 ÷ 217
    82295 ÷ 131072     		x = 0.627861022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19352 ÷ 217
    19352 ÷ 131072     		y = 0.14764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627861022949219 × 2 - 1) × π
    0.255722045898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.80337450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14764404296875 × 2 - 1) × π
    0.7047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21391777205267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80337450} λ = 0.80337450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21391777205267))-π/2
    2×atan(9.15149974169703)-π/2
    2×1.4619564426946-π/2
    2.9239128853892-1.57079632675     		φ = 1.35311656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80337450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.029968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35311656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.527868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82295 KachelY 19352 0.80337450 1.35311656 46.029968 77.527868
    Oben rechts KachelX + 1 82296 KachelY 19352 0.80342244 1.35311656 46.032715 77.527868
    Unten links KachelX 82295 KachelY + 1 19353 0.80337450 1.35310621 46.029968 77.527275
    Unten rechts KachelX + 1 82296 KachelY + 1 19353 0.80342244 1.35310621 46.032715 77.527275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35311656-1.35310621) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35311656-1.35310621) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80337450-0.80342244) × cos(1.35311656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215964728028427 × 6371000     		do = 65.9611868719379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80337450-0.80342244) × cos(1.35310621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215974833768924 × 6371000     		du = 65.9642734252074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35311656)-sin(1.35310621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215964728028427-0.215974833768924)×R²
    abs(0.80342244-0.80337450)×1.0105740496702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0105740496702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0105740496702e-05×40589641000000     		ar = 4349.57253160545m²