Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82293 / 19347
↖ ↑ ↗
← N 77.530834°
E 46.024475°		 ← 65.93 m → N 77.530834°
E 46.027221°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.530241°
E 46.024475°		 ← 65.94 m →
4 348 m²		 N 77.530241°
E 46.027221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627849578857422 y=0.147609710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627849578857422 × 217)
    floor (0.627849578857422 × 131072)
    floor (82293.5)     		tx = 82293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147609710693359 × 217)
    floor (0.147609710693359 × 131072)
    floor (19347.5)     		ty = 19347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82293 / 19347 ti = "17/82293/19347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82293/19347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82293 ÷ 217
    82293 ÷ 131072     		x = 0.627845764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19347 ÷ 217
    19347 ÷ 131072     		y = 0.147605895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627845764160156 × 2 - 1) × π
    0.255691528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.80327863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147605895996094 × 2 - 1) × π
    0.704788208007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21415745655077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80327863} λ = 0.80327863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21415745655077))-π/2
    2×atan(9.15369347721118)-π/2
    2×1.46198232136519-π/2
    2.92396464273038-1.57079632675     		φ = 1.35316832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80327863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.024475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35316832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.530834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82293 KachelY 19347 0.80327863 1.35316832 46.024475 77.530834
    Oben rechts KachelX + 1 82294 KachelY 19347 0.80332656 1.35316832 46.027221 77.530834
    Unten links KachelX 82293 KachelY + 1 19348 0.80327863 1.35315797 46.024475 77.530241
    Unten rechts KachelX + 1 82294 KachelY + 1 19348 0.80332656 1.35315797 46.027221 77.530241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35316832-1.35315797) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35316832-1.35315797) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80327863-0.80332656) × cos(1.35316832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215914189214821 × 6371000     		do = 65.9319951244823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80327863-0.80332656) × cos(1.35315797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215924295071003 × 6371000     		du = 65.9350810692408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35316832)-sin(1.35315797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215914189214821-0.215924295071003)×R²
    abs(0.80332656-0.80327863)×1.01058561816636e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01058561816636e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01058561816636e-05×40589641000000     		ar = 4347.64761206367m²