Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82293 / 19332
↖ ↑ ↗
← N 77.539726°
E 46.024475°		 ← 65.89 m → N 77.539726°
E 46.027221°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.539133°
E 46.024475°		 ← 65.89 m →
4 345 m²		 N 77.539133°
E 46.027221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627849578857422 y=0.147495269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627849578857422 × 217)
    floor (0.627849578857422 × 131072)
    floor (82293.5)     		tx = 82293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147495269775391 × 217)
    floor (0.147495269775391 × 131072)
    floor (19332.5)     		ty = 19332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82293 / 19332 ti = "17/82293/19332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82293/19332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82293 ÷ 217
    82293 ÷ 131072     		x = 0.627845764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19332 ÷ 217
    19332 ÷ 131072     		y = 0.147491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627845764160156 × 2 - 1) × π
    0.255691528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.80327863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147491455078125 × 2 - 1) × π
    0.70501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21487651004507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80327863} λ = 0.80327863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21487651004507))-π/2
    2×atan(9.16027783946237)-π/2
    2×1.46205992104814-π/2
    2.92411984209628-1.57079632675     		φ = 1.35332352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80327863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.024475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35332352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.539726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82293 KachelY 19332 0.80327863 1.35332352 46.024475 77.539726
    Oben rechts KachelX + 1 82294 KachelY 19332 0.80332656 1.35332352 46.027221 77.539726
    Unten links KachelX 82293 KachelY + 1 19333 0.80327863 1.35331317 46.024475 77.539133
    Unten rechts KachelX + 1 82294 KachelY + 1 19333 0.80332656 1.35331317 46.027221 77.539133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35332352-1.35331317) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35332352-1.35331317) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80327863-0.80332656) × cos(1.35332352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215762647419482 × 6371000     		do = 65.8857200142277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80327863-0.80332656) × cos(1.35331317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.215772753622378 × 6371000     		du = 65.8888060648594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35332352)-sin(1.35331317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215762647419482-0.215772753622378)×R²
    abs(0.80332656-0.80327863)×1.01062028953214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01062028953214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01062028953214e-05×40589641000000     		ar = 4344.59624189826m²