Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82292 / 19364
↖ ↑ ↗
← N 77.520748°
E 46.021729°		 ← 66 m → N 77.520748°
E 46.024475°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.520154°
E 46.021729°		 ← 66 m →
4 356 m²		 N 77.520154°
E 46.024475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627841949462891 y=0.147739410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627841949462891 × 217)
    floor (0.627841949462891 × 131072)
    floor (82292.5)     		tx = 82292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147739410400391 × 217)
    floor (0.147739410400391 × 131072)
    floor (19364.5)     		ty = 19364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82292 / 19364 ti = "17/82292/19364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82292/19364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82292 ÷ 217
    82292 ÷ 131072     		x = 0.627838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19364 ÷ 217
    19364 ÷ 131072     		y = 0.147735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627838134765625 × 2 - 1) × π
    0.25567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80323069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147735595703125 × 2 - 1) × π
    0.70452880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21334252925723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80323069} λ = 0.80323069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21334252925723))-π/2
    2×atan(9.14623692124804)-π/2
    2×1.46189430916987-π/2
    2.92378861833973-1.57079632675     		φ = 1.35299229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80323069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35299229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.520748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82292 KachelY 19364 0.80323069 1.35299229 46.021729 77.520748
    Oben rechts KachelX + 1 82293 KachelY 19364 0.80327863 1.35299229 46.024475 77.520748
    Unten links KachelX 82292 KachelY + 1 19365 0.80323069 1.35298193 46.021729 77.520154
    Unten rechts KachelX + 1 82293 KachelY + 1 19365 0.80327863 1.35298193 46.024475 77.520154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35299229-1.35298193) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dl = 66.0035599992102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35299229-1.35298193) × R
    1.0359999999876e-05 × 6371000     		dr = 66.0035599992102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80323069-0.80327863) × cos(1.35299229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216086063733393 × 6371000     		do = 65.9982459194154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80323069-0.80327863) × cos(1.35298193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216096178959753 × 6371000     		du = 66.0013353699118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35299229)-sin(1.35298193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216086063733393-0.216096178959753)×R²
    abs(0.80327863-0.80323069)×1.01152263602966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01152263602966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01152263602966e-05×40589641000000     		ar = 4356.22114183195m²