Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8229 / 9433
↖ ↑ ↗
← S 26.293415°
E  0.812988°		 ← 2 190.49 m → S 26.293415°
E  0.834961°		 →
↑
2 190.29 m
↓
↑
2 190.29 m
↓
S 26.313113°
E  0.812988°		 ← 2 190.12 m →
4 797 393 m²		 S 26.313113°
E  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502288818359375 y=0.575775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502288818359375 × 214)
    floor (0.502288818359375 × 16384)
    floor (8229.5)     		tx = 8229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575775146484375 × 214)
    floor (0.575775146484375 × 16384)
    floor (9433.5)     		ty = 9433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8229 / 9433 ti = "14/8229/9433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8229/9433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8229 ÷ 214
    8229 ÷ 16384     		x = 0.50225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9433 ÷ 214
    9433 ÷ 16384     		y = 0.57574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50225830078125 × 2 - 1) × π
    0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.475917539427917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01418932} λ = 0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475917539427917))-π/2
    2×atan(0.621314714101897)-π/2
    2×0.555944831694688-π/2
    1.11188966338938-1.57079632675     		φ = -0.45890666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45890666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.293415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8229 KachelY 9433 0.01418932 -0.45890666 0.812988 -26.293415
    Oben rechts KachelX + 1 8230 KachelY 9433 0.01457282 -0.45890666 0.834961 -26.293415
    Unten links KachelX 8229 KachelY + 1 9434 0.01418932 -0.45925045 0.812988 -26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 8230 KachelY + 1 9434 0.01457282 -0.45925045 0.834961 -26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45890666--0.45925045) × R
    0.000343789999999955 × 6371000     		dl = 2190.28608999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45890666--0.45925045) × R
    0.000343789999999955 × 6371000     		dr = 2190.28608999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01418932-0.01457282) × cos(-0.45890666) × R
    0.0003835 × 0.896537348084991 × 6371000     		do = 2190.49042702307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01418932-0.01457282) × cos(-0.45925045) × R
    0.0003835 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 2190.11821553439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45890666)-sin(-0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896537348084991-0.896385007085516)×R²
    abs(0.01457282-0.01418932)×0.000152340999474698×R²
    0.0003835×0.000152340999474698×6371000²
    0.0003835×0.000152340999474698×40589641000000     		ar = 4797393.13501319m²