Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82288 / 19697
↖ ↑ ↗
← N 77.321565°
E 46.010742°		 ← 67.03 m → N 77.321565°
E 46.013489°		 →
↑
67.02 m
↓
↑
67.02 m
↓
N 77.320963°
E 46.010742°		 ← 67.04 m →
4 493 m²		 N 77.320963°
E 46.013489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627811431884766 y=0.150279998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627811431884766 × 217)
    floor (0.627811431884766 × 131072)
    floor (82288.5)     		tx = 82288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150279998779297 × 217)
    floor (0.150279998779297 × 131072)
    floor (19697.5)     		ty = 19697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82288 / 19697 ti = "17/82288/19697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82288/19697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82288 ÷ 217
    82288 ÷ 131072     		x = 0.6278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19697 ÷ 217
    19697 ÷ 131072     		y = 0.150276184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    0.255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80303894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150276184082031 × 2 - 1) × π
    0.699447631835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19737954168375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80303894} λ = 0.80303894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19737954168375))-π/2
    2×atan(9.00139478719617)-π/2
    2×1.46015611261741-π/2
    2.92031222523483-1.57079632675     		φ = 1.34951590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80303894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34951590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.321565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82288 KachelY 19697 0.80303894 1.34951590 46.010742 77.321565
    Oben rechts KachelX + 1 82289 KachelY 19697 0.80308688 1.34951590 46.013489 77.321565
    Unten links KachelX 82288 KachelY + 1 19698 0.80303894 1.34950538 46.010742 77.320963
    Unten rechts KachelX + 1 82289 KachelY + 1 19698 0.80308688 1.34950538 46.013489 77.320963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34951590-1.34950538) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dl = 67.0229200000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34951590-1.34950538) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dr = 67.0229200000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80303894-0.80308688) × cos(1.34951590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2194790090897 × 6371000     		do = 67.0345387656445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80303894-0.80308688) × cos(1.34950538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219489272570734 × 6371000     		du = 67.0376734969343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34951590)-sin(1.34950538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2194790090897-0.219489272570734)×R²
    abs(0.80308688-0.80303894)×1.02634810341395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02634810341395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02634810341395e-05×40589641000000     		ar = 4492.95557839537m²