Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82287 / 19695
↖ ↑ ↗
← N 77.322771°
E 46.007996°		 ← 67.01 m → N 77.322771°
E 46.010742°		 →
↑
67.02 m
↓
↑
67.02 m
↓
N 77.322168°
E 46.007996°		 ← 67.02 m →
4 492 m²		 N 77.322168°
E 46.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627803802490234 y=0.150264739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627803802490234 × 217)
    floor (0.627803802490234 × 131072)
    floor (82287.5)     		tx = 82287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150264739990234 × 217)
    floor (0.150264739990234 × 131072)
    floor (19695.5)     		ty = 19695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82287 / 19695 ti = "17/82287/19695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82287/19695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82287 ÷ 217
    82287 ÷ 131072     		x = 0.627799987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19695 ÷ 217
    19695 ÷ 131072     		y = 0.150260925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627799987792969 × 2 - 1) × π
    0.255599975585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.80299101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150260925292969 × 2 - 1) × π
    0.699478149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19747541548299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80299101} λ = 0.80299101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19747541548299))-π/2
    2×atan(9.00225782648364)-π/2
    2×1.46016663326867-π/2
    2.92033326653735-1.57079632675     		φ = 1.34953694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80299101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.007996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34953694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.322771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82287 KachelY 19695 0.80299101 1.34953694 46.007996 77.322771
    Oben rechts KachelX + 1 82288 KachelY 19695 0.80303894 1.34953694 46.010742 77.322771
    Unten links KachelX 82287 KachelY + 1 19696 0.80299101 1.34952642 46.007996 77.322168
    Unten rechts KachelX + 1 82288 KachelY + 1 19696 0.80303894 1.34952642 46.010742 77.322168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34953694-1.34952642) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dl = 67.0229200000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34953694-1.34952642) × R
    1.05200000000139e-05 × 6371000     		dr = 67.0229200000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80299101-0.80303894) × cos(1.34953694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219458482054764 × 6371000     		do = 67.0142875810023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80299101-0.80303894) × cos(1.34952642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219468745584377 × 6371000     		du = 67.0174216732398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34953694)-sin(1.34952642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219458482054764-0.219468745584377)×R²
    abs(0.80303894-0.80299101)×1.02635296126974e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02635296126974e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02635296126974e-05×40589641000000     		ar = 4491.59826345269m²