Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8228 / 8622
↖ ↑ ↗
← N 78.718466°
W134.802246°		 ← 119.49 m → N 78.718466°
W134.796753°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
N 78.717391°
W134.802246°		 ← 119.50 m →
14 282 m²		 N 78.717391°
W134.796753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125556945800781 y=0.131568908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125556945800781 × 216)
    floor (0.125556945800781 × 65536)
    floor (8228.5)     		tx = 8228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131568908691406 × 216)
    floor (0.131568908691406 × 65536)
    floor (8622.5)     		ty = 8622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8228 / 8622 ti = "16/8228/8622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8228/8622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8228 ÷ 216
    8228 ÷ 65536     		x = 0.12554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8622 ÷ 216
    8622 ÷ 65536     		y = 0.131561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.7489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35274303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131561279296875 × 2 - 1) × π
    0.73687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31496875645175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35274303} λ = -2.35274303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31496875645175))-π/2
    2×atan(10.1246065851673)-π/2
    2×1.47234636690027-π/2
    2.94469273380054-1.57079632675     		φ = 1.37389641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35274303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37389641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.718466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8228 KachelY 8622 -2.35274303 1.37389641 -134.802246 78.718466
    Oben rechts KachelX + 1 8229 KachelY 8622 -2.35264716 1.37389641 -134.796753 78.718466
    Unten links KachelX 8228 KachelY + 1 8623 -2.35274303 1.37387765 -134.802246 78.717391
    Unten rechts KachelX + 1 8229 KachelY + 1 8623 -2.35264716 1.37387765 -134.796753 78.717391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37389641-1.37387765) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dl = 119.519959999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37389641-1.37387765) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dr = 119.519959999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35274303--2.35264716) × cos(1.37389641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195630093067181 × 6371000     		do = 119.488468289394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35274303--2.35264716) × cos(1.37387765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195648490547511 × 6371000     		du = 119.499705245378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37389641)-sin(1.37387765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195630093067181-0.195648490547511)×R²
    abs(-2.35264716--2.35274303)×1.83974803298903e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83974803298903e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83974803298903e-05×40589641000000     		ar = 14281.9284711364m²