Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8227 / 9439
↖ ↑ ↗
← S 26.411551°
E  0.769043°		 ← 2 188.25 m → S 26.411551°
E  0.791016°		 →
↑
2 188.06 m
↓
↑
2 188.06 m
↓
S 26.431228°
E  0.769043°		 ← 2 187.88 m →
4 787 615 m²		 S 26.431228°
E  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502166748046875 y=0.576141357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502166748046875 × 214)
    floor (0.502166748046875 × 16384)
    floor (8227.5)     		tx = 8227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576141357421875 × 214)
    floor (0.576141357421875 × 16384)
    floor (9439.5)     		ty = 9439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8227 / 9439 ti = "14/8227/9439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8227/9439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8227 ÷ 214
    8227 ÷ 16384     		x = 0.50213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9439 ÷ 214
    9439 ÷ 16384     		y = 0.57611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50213623046875 × 2 - 1) × π
    0.0042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01342233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.1522216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.47821851060968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01342233} λ = 0.01342233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47821851060968))-π/2
    2×atan(0.619886730354703)-π/2
    2×0.554913904605833-π/2
    1.10982780921167-1.57079632675     		φ = -0.46096852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01342233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46096852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.411551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8227 KachelY 9439 0.01342233 -0.46096852 0.769043 -26.411551
    Oben rechts KachelX + 1 8228 KachelY 9439 0.01380583 -0.46096852 0.791016 -26.411551
    Unten links KachelX 8227 KachelY + 1 9440 0.01342233 -0.46131196 0.769043 -26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 8228 KachelY + 1 9440 0.01380583 -0.46131196 0.791016 -26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46096852--0.46131196) × R
    0.000343440000000028 × 6371000     		dl = 2188.05624000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46096852--0.46131196) × R
    0.000343440000000028 × 6371000     		dr = 2188.05624000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01342233-0.01380583) × cos(-0.46096852) × R
    0.0003835 × 0.895622104709715 × 6371000     		do = 2188.254232562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01342233-0.01380583) × cos(-0.46131196) × R
    0.0003835 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 2187.88084992147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46096852)-sin(-0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895622104709715-0.895469284374037)×R²
    abs(0.01380583-0.01342233)×0.000152820335677872×R²
    0.0003835×0.000152820335677872×6371000²
    0.0003835×0.000152820335677872×40589641000000     		ar = 4787614.88421455m²