Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8225 / 8158
↖ ↑ ↗
← N 79.206367°
W134.818725°		 ← 114.38 m → N 79.206367°
W134.813232°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 79.205338°
W134.818725°		 ← 114.39 m →
13 081 m²		 N 79.205338°
W134.813232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125511169433594 y=0.124488830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125511169433594 × 216)
    floor (0.125511169433594 × 65536)
    floor (8225.5)     		tx = 8225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124488830566406 × 216)
    floor (0.124488830566406 × 65536)
    floor (8158.5)     		ty = 8158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8225 / 8158 ti = "16/8225/8158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8225/8158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8225 ÷ 216
    8225 ÷ 65536     		x = 0.125503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8158 ÷ 216
    8158 ÷ 65536     		y = 0.124481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125503540039062 × 2 - 1) × π
    -0.748992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35303065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124481201171875 × 2 - 1) × π
    0.75103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35303065} λ = -2.35303065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35945419929916))-π/2
    2×atan(10.5851724809353)-π/2
    2×1.47660411028949-π/2
    2.95320822057898-1.57079632675     		φ = 1.38241189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35303065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.818725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38241189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.206367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8225 KachelY 8158 -2.35303065 1.38241189 -134.818725 79.206367
    Oben rechts KachelX + 1 8226 KachelY 8158 -2.35293478 1.38241189 -134.813232 79.206367
    Unten links KachelX 8225 KachelY + 1 8159 -2.35303065 1.38239394 -134.818725 79.205338
    Unten rechts KachelX + 1 8226 KachelY + 1 8159 -2.35293478 1.38239394 -134.813232 79.205338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38241189-1.38239394) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38241189-1.38239394) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35303065--2.35293478) × cos(1.38241189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187272159292121 × 6371000     		do = 114.383544557117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35303065--2.35293478) × cos(1.38239394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187289791691751 × 6371000     		du = 114.394314211167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38241189)-sin(1.38239394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187272159292121-0.187289791691751)×R²
    abs(-2.35293478--2.35303065)×1.76323996305683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76323996305683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76323996305683e-05×40589641000000     		ar = 13081.4550506051m²