Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82118 / 16453
↖ ↑ ↗
← N 79.135672°
E 45.543823°		 ← 57.57 m → N 79.135672°
E 45.546570°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.135154°
E 45.543823°		 ← 57.57 m →
3 316 m²		 N 79.135154°
E 45.546570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626514434814453 y=0.125530242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626514434814453 × 217)
    floor (0.626514434814453 × 131072)
    floor (82118.5)     		tx = 82118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125530242919922 × 217)
    floor (0.125530242919922 × 131072)
    floor (16453.5)     		ty = 16453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82118 / 16453 ti = "17/82118/16453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82118/16453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82118 ÷ 217
    82118 ÷ 131072     		x = 0.626510620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16453 ÷ 217
    16453 ÷ 131072     		y = 0.125526428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626510620117188 × 2 - 1) × π
    0.253021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79488967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125526428222656 × 2 - 1) × π
    0.748947143554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.35288684405122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79488967} λ = 0.79488967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35288684405122))-π/2
    2×atan(10.515883664066)-π/2
    2×1.47598718124214-π/2
    2.95197436248428-1.57079632675     		φ = 1.38117804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79488967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.543823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38117804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.135672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82118 KachelY 16453 0.79488967 1.38117804 45.543823 79.135672
    Oben rechts KachelX + 1 82119 KachelY 16453 0.79493761 1.38117804 45.546570 79.135672
    Unten links KachelX 82118 KachelY + 1 16454 0.79488967 1.38116900 45.543823 79.135154
    Unten rechts KachelX + 1 82119 KachelY + 1 16454 0.79493761 1.38116900 45.546570 79.135154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38117804-1.38116900) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38117804-1.38116900) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79488967-0.79493761) × cos(1.38117804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188484037242752 × 6371000     		do = 57.5678765530173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79488967-0.79493761) × cos(1.38116900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188492915204382 × 6371000     		du = 57.5705881110178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38117804)-sin(1.38116900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188484037242752-0.188492915204382)×R²
    abs(0.79493761-0.79488967)×8.87796162987731e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87796162987731e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87796162987731e-06×40589641000000     		ar = 3315.63315593594m²