Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8210 / 4019
↖ ↑ ↗
← N 67.178479°
E  0.395508°		 ← 947.65 m → N 67.178479°
E  0.417481°		 →
↑
947.81 m
↓
↑
947.81 m
↓
N 67.169955°
E  0.395508°		 ← 947.99 m →
898 359 m²		 N 67.169955°
E  0.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501129150390625 y=0.245330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501129150390625 × 214)
    floor (0.501129150390625 × 16384)
    floor (8210.5)     		tx = 8210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245330810546875 × 214)
    floor (0.245330810546875 × 16384)
    floor (4019.5)     		ty = 4019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8210 / 4019 ti = "14/8210/4019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8210/4019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8210 ÷ 214
    8210 ÷ 16384     		x = 0.5010986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4019 ÷ 214
    4019 ÷ 16384     		y = 0.24530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5010986328125 × 2 - 1) × π
    0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24530029296875 × 2 - 1) × π
    0.5093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60032545691595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00690291} λ = 0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60032545691595))-π/2
    2×atan(4.9546446853991)-π/2
    2×1.37164098443624-π/2
    2.74328196887248-1.57079632675     		φ = 1.17248564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17248564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.178479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8210 KachelY 4019 0.00690291 1.17248564 0.395508 67.178479
    Oben rechts KachelX + 1 8211 KachelY 4019 0.00728641 1.17248564 0.417481 67.178479
    Unten links KachelX 8210 KachelY + 1 4020 0.00690291 1.17233687 0.395508 67.169955
    Unten rechts KachelX + 1 8211 KachelY + 1 4020 0.00728641 1.17233687 0.417481 67.169955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17248564-1.17233687) × R
    0.00014877000000002 × 6371000     		dl = 947.813670000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17248564-1.17233687) × R
    0.00014877000000002 × 6371000     		dr = 947.813670000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00690291-0.00728641) × cos(1.17248564) × R
    0.0003835 × 0.387861826892005 × 6371000     		do = 947.654462615957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00690291-0.00728641) × cos(1.17233687) × R
    0.0003835 × 0.387998946516108 × 6371000     		du = 947.989484045456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17248564)-sin(1.17233687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387861826892005-0.387998946516108)×R²
    abs(0.00728641-0.00690291)×0.00013711962410301×R²
    0.0003835×0.00013711962410301×6371000²
    0.0003835×0.00013711962410301×40589641000000     		ar = 898358.624706362m²