Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82076 / 19818
↖ ↑ ↗
← N 77.248418°
E 45.428467°		 ← 67.41 m → N 77.248418°
E 45.431214°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.247811°
E 45.428467°		 ← 67.42 m →
4 544 m²		 N 77.247811°
E 45.431214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626194000244141 y=0.151203155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626194000244141 × 217)
    floor (0.626194000244141 × 131072)
    floor (82076.5)     		tx = 82076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151203155517578 × 217)
    floor (0.151203155517578 × 131072)
    floor (19818.5)     		ty = 19818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82076 / 19818 ti = "17/82076/19818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82076/19818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82076 ÷ 217
    82076 ÷ 131072     		x = 0.626190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19818 ÷ 217
    19818 ÷ 131072     		y = 0.151199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626190185546875 × 2 - 1) × π
    0.25238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79287632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151199340820312 × 2 - 1) × π
    0.697601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19157917682973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79287632} λ = 0.79287632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19157917682973))-π/2
    2×atan(8.94933454339999)-π/2
    2×1.45951777917989-π/2
    2.91903555835979-1.57079632675     		φ = 1.34823923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79287632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34823923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.248418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82076 KachelY 19818 0.79287632 1.34823923 45.428467 77.248418
    Oben rechts KachelX + 1 82077 KachelY 19818 0.79292426 1.34823923 45.431214 77.248418
    Unten links KachelX 82076 KachelY + 1 19819 0.79287632 1.34822865 45.428467 77.247811
    Unten rechts KachelX + 1 82077 KachelY + 1 19819 0.79292426 1.34822865 45.431214 77.247811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34823923-1.34822865) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dl = 67.4051799991797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34823923-1.34822865) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dr = 67.4051799991797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79287632-0.79292426) × cos(1.34823923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220724371127735 × 6371000     		do = 67.4149043878351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79287632-0.79292426) × cos(1.34822865) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220734690172643 × 6371000     		du = 67.4180560897621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34823923)-sin(1.34822865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220724371127735-0.220734690172643)×R²
    abs(0.79292426-0.79287632)×1.03190449076973e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03190449076973e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03190449076973e-05×40589641000000     		ar = 4544.21998550139m²