Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82073 / 19819
↖ ↑ ↗
← N 77.247811°
E 45.420227°		 ← 67.42 m → N 77.247811°
E 45.422974°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.247205°
E 45.420227°		 ← 67.42 m →
4 544 m²		 N 77.247205°
E 45.422974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626171112060547 y=0.151210784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626171112060547 × 217)
    floor (0.626171112060547 × 131072)
    floor (82073.5)     		tx = 82073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151210784912109 × 217)
    floor (0.151210784912109 × 131072)
    floor (19819.5)     		ty = 19819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82073 / 19819 ti = "17/82073/19819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82073/19819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82073 ÷ 217
    82073 ÷ 131072     		x = 0.626167297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19819 ÷ 217
    19819 ÷ 131072     		y = 0.151206970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626167297363281 × 2 - 1) × π
    0.252334594726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.79273251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151206970214844 × 2 - 1) × π
    0.697586059570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.19153123993011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79273251} λ = 0.79273251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19153123993011))-π/2
    2×atan(8.9489055503307)-π/2
    2×1.45951248863524-π/2
    2.91902497727048-1.57079632675     		φ = 1.34822865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79273251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.420227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34822865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.247811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82073 KachelY 19819 0.79273251 1.34822865 45.420227 77.247811
    Oben rechts KachelX + 1 82074 KachelY 19819 0.79278045 1.34822865 45.422974 77.247811
    Unten links KachelX 82073 KachelY + 1 19820 0.79273251 1.34821807 45.420227 77.247205
    Unten rechts KachelX + 1 82074 KachelY + 1 19820 0.79278045 1.34821807 45.422974 77.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34822865-1.34821807) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dl = 67.4051800005944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34822865-1.34821807) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dr = 67.4051800005944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79273251-0.79278045) × cos(1.34822865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220734690172643 × 6371000     		do = 67.418056089606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79273251-0.79278045) × cos(1.34821807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220745009192843 × 6371000     		du = 67.4212077839865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34822865)-sin(1.34821807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220734690172643-0.220745009192843)×R²
    abs(0.79278045-0.79273251)×1.03190201996561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03190201996561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03190201996561e-05×40589641000000     		ar = 4544.43242621584m²