Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82071 / 19830
↖ ↑ ↗
← N 77.241141°
E 45.414734°		 ← 67.44 m → N 77.241141°
E 45.417480°		 →
↑
67.47 m
↓
↑
67.47 m
↓
N 77.240534°
E 45.414734°		 ← 67.44 m →
4 550 m²		 N 77.240534°
E 45.417480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626155853271484 y=0.151294708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626155853271484 × 217)
    floor (0.626155853271484 × 131072)
    floor (82071.5)     		tx = 82071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151294708251953 × 217)
    floor (0.151294708251953 × 131072)
    floor (19830.5)     		ty = 19830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82071 / 19830 ti = "17/82071/19830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82071/19830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82071 ÷ 217
    82071 ÷ 131072     		x = 0.626152038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19830 ÷ 217
    19830 ÷ 131072     		y = 0.151290893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626152038574219 × 2 - 1) × π
    0.252304077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.79263664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151290893554688 × 2 - 1) × π
    0.697418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19100393403429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79263664} λ = 0.79263664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19100393403429))-π/2
    2×atan(8.94418798358256)-π/2
    2×1.45945427631573-π/2
    2.91890855263146-1.57079632675     		φ = 1.34811223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79263664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.414734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34811223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.241141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82071 KachelY 19830 0.79263664 1.34811223 45.414734 77.241141
    Oben rechts KachelX + 1 82072 KachelY 19830 0.79268457 1.34811223 45.417480 77.241141
    Unten links KachelX 82071 KachelY + 1 19831 0.79263664 1.34810164 45.414734 77.240534
    Unten rechts KachelX + 1 82072 KachelY + 1 19831 0.79268457 1.34810164 45.417480 77.240534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34811223-1.34810164) × R
    1.05899999998105e-05 × 6371000     		dl = 67.4688899987925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34811223-1.34810164) × R
    1.05899999998105e-05 × 6371000     		dr = 67.4688899987925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79263664-0.79268457) × cos(1.34811223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220848237047958 × 6371000     		do = 67.438665986927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79263664-0.79268457) × cos(1.34810164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220858565549256 × 6371000     		du = 67.44181991905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34811223)-sin(1.34810164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220848237047958-0.220858565549256)×R²
    abs(0.79268457-0.79263664)×1.03285012974241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03285012974241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03285012974241e-05×40589641000000     		ar = 4550.11833339595m²