Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82059 / 19822
↖ ↑ ↗
← N 77.245992°
E 45.381775°		 ← 67.43 m → N 77.245992°
E 45.384522°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.245386°
E 45.381775°		 ← 67.43 m →
4 545 m²		 N 77.245386°
E 45.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.626064300537109 y=0.151233673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.626064300537109 × 217)
    floor (0.626064300537109 × 131072)
    floor (82059.5)     		tx = 82059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151233673095703 × 217)
    floor (0.151233673095703 × 131072)
    floor (19822.5)     		ty = 19822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82059 / 19822 ti = "17/82059/19822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82059/19822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82059 ÷ 217
    82059 ÷ 131072     		x = 0.626060485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19822 ÷ 217
    19822 ÷ 131072     		y = 0.151229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626060485839844 × 2 - 1) × π
    0.252120971679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.79206139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151229858398438 × 2 - 1) × π
    0.697540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19138742923125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79206139} λ = 0.79206139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19138742923125))-π/2
    2×atan(8.94761869450351)-π/2
    2×1.45949661551707-π/2
    2.91899323103413-1.57079632675     		φ = 1.34819690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79206139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.381775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34819690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.245992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82059 KachelY 19822 0.79206139 1.34819690 45.381775 77.245992
    Oben rechts KachelX + 1 82060 KachelY 19822 0.79210933 1.34819690 45.384522 77.245992
    Unten links KachelX 82059 KachelY + 1 19823 0.79206139 1.34818632 45.381775 77.245386
    Unten rechts KachelX + 1 82060 KachelY + 1 19823 0.79210933 1.34818632 45.384522 77.245386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34819690-1.34818632) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dl = 67.4051800005944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34819690-1.34818632) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dr = 67.4051800005944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79206139-0.79210933) × cos(1.34819690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220765656912381 × 6371000     		do = 67.4275141290059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79206139-0.79210933) × cos(1.34818632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220775975858426 × 6371000     		du = 67.4306658007376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34819690)-sin(1.34818632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220765656912381-0.220775975858426)×R²
    abs(0.79210933-0.79206139)×1.03189460446407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03189460446407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03189460446407e-05×40589641000000     		ar = 4545.06994649456m²