Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82044 / 20076
↖ ↑ ↗
← N 77.091062°
E 45.340576°		 ← 68.23 m → N 77.091062°
E 45.343323°		 →
↑
68.23 m
↓
↑
68.23 m
↓
N 77.090448°
E 45.340576°		 ← 68.24 m →
4 656 m²		 N 77.090448°
E 45.343323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625949859619141 y=0.153171539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625949859619141 × 217)
    floor (0.625949859619141 × 131072)
    floor (82044.5)     		tx = 82044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153171539306641 × 217)
    floor (0.153171539306641 × 131072)
    floor (20076.5)     		ty = 20076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82044 / 20076 ti = "17/82044/20076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82044/20076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82044 ÷ 217
    82044 ÷ 131072     		x = 0.625946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20076 ÷ 217
    20076 ÷ 131072     		y = 0.153167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625946044921875 × 2 - 1) × π
    0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153167724609375 × 2 - 1) × π
    0.69366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17921145672775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79134234} λ = 0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17921145672775))-π/2
    2×atan(8.83933331303235)-π/2
    2×1.45814458673575-π/2
    2.9162891734715-1.57079632675     		φ = 1.34549285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34549285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.091062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82044 KachelY 20076 0.79134234 1.34549285 45.340576 77.091062
    Oben rechts KachelX + 1 82045 KachelY 20076 0.79139028 1.34549285 45.343323 77.091062
    Unten links KachelX 82044 KachelY + 1 20077 0.79134234 1.34548214 45.340576 77.090448
    Unten rechts KachelX + 1 82045 KachelY + 1 20077 0.79139028 1.34548214 45.343323 77.090448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34549285-1.34548214) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dl = 68.2334099998048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34549285-1.34548214) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dr = 68.2334099998048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79134234-0.79139028) × cos(1.34549285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223402179244659 × 6371000     		do = 68.2327759133678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79134234-0.79139028) × cos(1.34548214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223412618551103 × 6371000     		du = 68.2359643462637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34549285)-sin(1.34548214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223402179244659-0.223412618551103)×R²
    abs(0.79139028-0.79134234)×1.04393064447317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04393064447317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04393064447317e-05×40589641000000     		ar = 4655.86375317365m²