Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8204 / 9587
↖ ↑ ↗
← S 29.286399°
E  0.263672°		 ← 2 130.99 m → S 29.286399°
E  0.285645°		 →
↑
2 130.72 m
↓
↑
2 130.72 m
↓
S 29.305561°
E  0.263672°		 ← 2 130.59 m →
4 540 115 m²		 S 29.305561°
E  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500762939453125 y=0.585174560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500762939453125 × 214)
    floor (0.500762939453125 × 16384)
    floor (8204.5)     		tx = 8204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585174560546875 × 214)
    floor (0.585174560546875 × 16384)
    floor (9587.5)     		ty = 9587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8204 / 9587 ti = "14/8204/9587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8204/9587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8204 ÷ 214
    8204 ÷ 16384     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9587 ÷ 214
    9587 ÷ 16384     		y = 0.58514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.534975799759827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534975799759827))-π/2
    2×atan(0.585683463653778)-π/2
    2×0.529826120037049-π/2
    1.0596522400741-1.57079632675     		φ = -0.51114409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51114409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.286399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8204 KachelY 9587 0.00460194 -0.51114409 0.263672 -29.286399
    Oben rechts KachelX + 1 8205 KachelY 9587 0.00498544 -0.51114409 0.285645 -29.286399
    Unten links KachelX 8204 KachelY + 1 9588 0.00460194 -0.51147853 0.263672 -29.305561
    Unten rechts KachelX + 1 8205 KachelY + 1 9588 0.00498544 -0.51147853 0.285645 -29.305561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51114409--0.51147853) × R
    0.000334439999999936 × 6371000     		dl = 2130.71723999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51114409--0.51147853) × R
    0.000334439999999936 × 6371000     		dr = 2130.71723999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00498544) × cos(-0.51114409) × R
    0.0003835 × 0.872185417875333 × 6371000     		do = 2130.99187950832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00498544) × cos(-0.51147853) × R
    0.0003835 × 0.872021769272083 × 6371000     		du = 2130.59204039444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51114409)-sin(-0.51147853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872185417875333-0.872021769272083)×R²
    abs(0.00498544-0.00460194)×0.000163648603249911×R²
    0.0003835×0.000163648603249911×6371000²
    0.0003835×0.000163648603249911×40589641000000     		ar = 4540115.20623876m²