Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82039 / 19836
↖ ↑ ↗
← N 77.237501°
E 45.326843°		 ← 67.47 m → N 77.237501°
E 45.329590°		 →
↑
67.47 m
↓
↑
67.47 m
↓
N 77.236894°
E 45.326843°		 ← 67.47 m →
4 552 m²		 N 77.236894°
E 45.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625911712646484 y=0.151340484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625911712646484 × 217)
    floor (0.625911712646484 × 131072)
    floor (82039.5)     		tx = 82039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151340484619141 × 217)
    floor (0.151340484619141 × 131072)
    floor (19836.5)     		ty = 19836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82039 / 19836 ti = "17/82039/19836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82039/19836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82039 ÷ 217
    82039 ÷ 131072     		x = 0.625907897949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19836 ÷ 217
    19836 ÷ 131072     		y = 0.151336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625907897949219 × 2 - 1) × π
    0.251815795898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.79110265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151336669921875 × 2 - 1) × π
    0.69732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19071631263657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79110265} λ = 0.79110265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19071631263657))-π/2
    2×atan(8.94161581365653)-π/2
    2×1.45942251152074-π/2
    2.91884502304148-1.57079632675     		φ = 1.34804870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79110265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.326843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34804870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.237501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82039 KachelY 19836 0.79110265 1.34804870 45.326843 77.237501
    Oben rechts KachelX + 1 82040 KachelY 19836 0.79115059 1.34804870 45.329590 77.237501
    Unten links KachelX 82039 KachelY + 1 19837 0.79110265 1.34803811 45.326843 77.236894
    Unten rechts KachelX + 1 82040 KachelY + 1 19837 0.79115059 1.34803811 45.329590 77.236894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34804870-1.34803811) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dl = 67.4688900002072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34804870-1.34803811) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dr = 67.4688900002072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79110265-0.79115059) × cos(1.34804870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220910197931246 × 6371000     		do = 67.471660676653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79110265-0.79115059) × cos(1.34803811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220920526283936 × 6371000     		du = 67.4748152214165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34804870)-sin(1.34803811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220910197931246-0.220920526283936)×R²
    abs(0.79115059-0.79110265)×1.03283526904641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03283526904641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03283526904641e-05×40589641000000     		ar = 4552.34446924051m²