Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82037 / 16425
↖ ↑ ↗
← N 79.150158°
E 45.321350°		 ← 57.49 m → N 79.150158°
E 45.324097°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.149641°
E 45.321350°		 ← 57.49 m →
3 308 m²		 N 79.149641°
E 45.324097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625896453857422 y=0.125316619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625896453857422 × 217)
    floor (0.625896453857422 × 131072)
    floor (82037.5)     		tx = 82037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125316619873047 × 217)
    floor (0.125316619873047 × 131072)
    floor (16425.5)     		ty = 16425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82037 / 16425 ti = "17/82037/16425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82037/16425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82037 ÷ 217
    82037 ÷ 131072     		x = 0.625892639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16425 ÷ 217
    16425 ÷ 131072     		y = 0.125312805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625892639160156 × 2 - 1) × π
    0.251785278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.79100678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125312805175781 × 2 - 1) × π
    0.749374389648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.35422907724058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79100678} λ = 0.79100678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35422907724058))-π/2
    2×atan(10.5300079090301)-π/2
    2×1.47611359267434-π/2
    2.95222718534868-1.57079632675     		φ = 1.38143086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79100678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.321350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38143086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.150158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82037 KachelY 16425 0.79100678 1.38143086 45.321350 79.150158
    Oben rechts KachelX + 1 82038 KachelY 16425 0.79105472 1.38143086 45.324097 79.150158
    Unten links KachelX 82037 KachelY + 1 16426 0.79100678 1.38142183 45.321350 79.149641
    Unten rechts KachelX + 1 82038 KachelY + 1 16426 0.79105472 1.38142183 45.324097 79.149641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38143086-1.38142183) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38143086-1.38142183) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79100678-0.79105472) × cos(1.38143086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188235742703228 × 6371000     		do = 57.4920410095454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79100678-0.79105472) × cos(1.38142183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188244611274142 × 6371000     		du = 57.4947496993794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38143086)-sin(1.38142183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188235742703228-0.188244611274142)×R²
    abs(0.79105472-0.79100678)×8.86857091353388e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86857091353388e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86857091353388e-06×40589641000000     		ar = 3307.60250879295m²