Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82036 / 16436
↖ ↑ ↗
← N 79.144470°
E 45.318603°		 ← 57.52 m → N 79.144470°
E 45.321350°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.143952°
E 45.318603°		 ← 57.52 m →
3 309 m²		 N 79.143952°
E 45.321350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625888824462891 y=0.125400543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625888824462891 × 217)
    floor (0.625888824462891 × 131072)
    floor (82036.5)     		tx = 82036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125400543212891 × 217)
    floor (0.125400543212891 × 131072)
    floor (16436.5)     		ty = 16436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82036 / 16436 ti = "17/82036/16436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82036/16436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82036 ÷ 217
    82036 ÷ 131072     		x = 0.625885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16436 ÷ 217
    16436 ÷ 131072     		y = 0.125396728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625885009765625 × 2 - 1) × π
    0.25177001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79095884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125396728515625 × 2 - 1) × π
    0.74920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35370177134476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79095884} λ = 0.79095884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35370177134476))-π/2
    2×atan(10.5244568374616)-π/2
    2×1.47606395091246-π/2
    2.95212790182492-1.57079632675     		φ = 1.38133158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79095884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.318603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38133158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.144470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82036 KachelY 16436 0.79095884 1.38133158 45.318603 79.144470
    Oben rechts KachelX + 1 82037 KachelY 16436 0.79100678 1.38133158 45.321350 79.144470
    Unten links KachelX 82036 KachelY + 1 16437 0.79095884 1.38132255 45.318603 79.143952
    Unten rechts KachelX + 1 82037 KachelY + 1 16437 0.79100678 1.38132255 45.321350 79.143952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38133158-1.38132255) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38133158-1.38132255) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79095884-0.79100678) × cos(1.38133158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188333247033669 × 6371000     		do = 57.5218213418236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79095884-0.79100678) × cos(1.38132255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188342115435782 × 6371000     		du = 57.5245299801015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38133158)-sin(1.38132255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188333247033669-0.188342115435782)×R²
    abs(0.79100678-0.79095884)×8.86840211281048e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86840211281048e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86840211281048e-06×40589641000000     		ar = 3309.31577375013m²