Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82019 / 19931
↖ ↑ ↗
← N 77.179731°
E 45.271912°		 ← 67.76 m → N 77.179731°
E 45.274658°		 →
↑
67.72 m
↓
↑
67.72 m
↓
N 77.179122°
E 45.271912°		 ← 67.76 m →
4 589 m²		 N 77.179122°
E 45.274658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625759124755859 y=0.152065277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625759124755859 × 217)
    floor (0.625759124755859 × 131072)
    floor (82019.5)     		tx = 82019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152065277099609 × 217)
    floor (0.152065277099609 × 131072)
    floor (19931.5)     		ty = 19931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82019 / 19931 ti = "17/82019/19931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82019/19931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82019 ÷ 217
    82019 ÷ 131072     		x = 0.625755310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19931 ÷ 217
    19931 ÷ 131072     		y = 0.152061462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625755310058594 × 2 - 1) × π
    0.251510620117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.79014392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152061462402344 × 2 - 1) × π
    0.695877075195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18616230717266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79014392} λ = 0.79014392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18616230717266))-π/2
    2×atan(8.9009882257282)-π/2
    2×1.45891837975274-π/2
    2.91783675950548-1.57079632675     		φ = 1.34704043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79014392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.271912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34704043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.179731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82019 KachelY 19931 0.79014392 1.34704043 45.271912 77.179731
    Oben rechts KachelX + 1 82020 KachelY 19931 0.79019185 1.34704043 45.274658 77.179731
    Unten links KachelX 82019 KachelY + 1 19932 0.79014392 1.34702980 45.271912 77.179122
    Unten rechts KachelX + 1 82020 KachelY + 1 19932 0.79019185 1.34702980 45.274658 77.179122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34704043-1.34702980) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dl = 67.723730000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34704043-1.34702980) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dr = 67.723730000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79014392-0.79019185) × cos(1.34704043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221893445310485 × 6371000     		do = 67.7578329037451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79014392-0.79019185) × cos(1.34702980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221903810301827 × 6371000     		du = 67.7609979785422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34704043)-sin(1.34702980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221893445310485-0.221903810301827)×R²
    abs(0.79019185-0.79014392)×1.03649913422432e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03649913422432e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03649913422432e-05×40589641000000     		ar = 4588.92035636105m²