Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82018 / 19932
↖ ↑ ↗
← N 77.179122°
E 45.269165°		 ← 67.78 m → N 77.179122°
E 45.271912°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.178513°
E 45.269165°		 ← 67.78 m →
4 594 m²		 N 77.178513°
E 45.271912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625751495361328 y=0.152072906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625751495361328 × 217)
    floor (0.625751495361328 × 131072)
    floor (82018.5)     		tx = 82018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152072906494141 × 217)
    floor (0.152072906494141 × 131072)
    floor (19932.5)     		ty = 19932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82018 / 19932 ti = "17/82018/19932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82018/19932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82018 ÷ 217
    82018 ÷ 131072     		x = 0.625747680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19932 ÷ 217
    19932 ÷ 131072     		y = 0.152069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625747680664062 × 2 - 1) × π
    0.251495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79009598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152069091796875 × 2 - 1) × π
    0.69586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18611437027304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79009598} λ = 0.79009598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18611437027304))-π/2
    2×atan(8.90056155017593)-π/2
    2×1.4589130611866-π/2
    2.9178261223732-1.57079632675     		φ = 1.34702980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79009598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.269165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34702980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.179122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82018 KachelY 19932 0.79009598 1.34702980 45.269165 77.179122
    Oben rechts KachelX + 1 82019 KachelY 19932 0.79014392 1.34702980 45.271912 77.179122
    Unten links KachelX 82018 KachelY + 1 19933 0.79009598 1.34701916 45.269165 77.178513
    Unten rechts KachelX + 1 82019 KachelY + 1 19933 0.79014392 1.34701916 45.271912 77.178513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34702980-1.34701916) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34702980-1.34701916) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79009598-0.79014392) × cos(1.34702980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221903810301827 × 6371000     		do = 67.7751354702107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79009598-0.79014392) × cos(1.34701916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221914185018757 × 6371000     		du = 67.7783041758062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34702980)-sin(1.34701916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221903810301827-0.221914185018757)×R²
    abs(0.79014392-0.79009598)×1.03747169297175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03747169297175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03747169297175e-05×40589641000000     		ar = 4594.41032844166m²