Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82016 / 19933
↖ ↑ ↗
← N 77.178513°
E 45.263672°		 ← 67.76 m → N 77.178513°
E 45.266418°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.177903°
E 45.263672°		 ← 67.77 m →
4 594 m²		 N 77.177903°
E 45.266418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625736236572266 y=0.152080535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625736236572266 × 217)
    floor (0.625736236572266 × 131072)
    floor (82016.5)     		tx = 82016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152080535888672 × 217)
    floor (0.152080535888672 × 131072)
    floor (19933.5)     		ty = 19933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82016 / 19933 ti = "17/82016/19933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82016/19933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82016 ÷ 217
    82016 ÷ 131072     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19933 ÷ 217
    19933 ÷ 131072     		y = 0.152076721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152076721191406 × 2 - 1) × π
    0.695846557617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.18606643337342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18606643337342))-π/2
    2×atan(8.90013489507668)-π/2
    2×1.45890774237185-π/2
    2.9178154847437-1.57079632675     		φ = 1.34701916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34701916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.178513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82016 KachelY 19933 0.79000011 1.34701916 45.263672 77.178513
    Oben rechts KachelX + 1 82017 KachelY 19933 0.79004804 1.34701916 45.266418 77.178513
    Unten links KachelX 82016 KachelY + 1 19934 0.79000011 1.34700852 45.263672 77.177903
    Unten rechts KachelX + 1 82017 KachelY + 1 19934 0.79004804 1.34700852 45.266418 77.177903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34701916-1.34700852) × R
    1.06400000001727e-05 × 6371000     		dl = 67.7874400011005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34701916-1.34700852) × R
    1.06400000001727e-05 × 6371000     		dr = 67.7874400011005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(1.34701916) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221914185018757 × 6371000     		do = 67.7641660230076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(1.34700852) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221924559710564 × 6371000     		du = 67.7673340599585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34701916)-sin(1.34700852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221914185018757-0.221924559710564)×R²
    abs(0.79004804-0.79000011)×1.03746918071468e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03746918071468e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03746918071468e-05×40589641000000     		ar = 4593.66671494971m²