Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82014 / 19915
↖ ↑ ↗
← N 77.189479°
E 45.258179°		 ← 67.72 m → N 77.189479°
E 45.260925°		 →
↑
67.72 m
↓
↑
67.72 m
↓
N 77.188870°
E 45.258179°		 ← 67.72 m →
4 586 m²		 N 77.188870°
E 45.260925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625720977783203 y=0.151943206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625720977783203 × 217)
    floor (0.625720977783203 × 131072)
    floor (82014.5)     		tx = 82014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151943206787109 × 217)
    floor (0.151943206787109 × 131072)
    floor (19915.5)     		ty = 19915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82014 / 19915 ti = "17/82014/19915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82014/19915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82014 ÷ 217
    82014 ÷ 131072     		x = 0.625717163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19915 ÷ 217
    19915 ÷ 131072     		y = 0.151939392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625717163085938 × 2 - 1) × π
    0.251434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78990423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151939392089844 × 2 - 1) × π
    0.696121215820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18692929756658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78990423} λ = 0.78990423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18692929756658))-π/2
    2×atan(8.90781781697437)-π/2
    2×1.45900344300974-π/2
    2.91800688601947-1.57079632675     		φ = 1.34721056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78990423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.258179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34721056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.189479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82014 KachelY 19915 0.78990423 1.34721056 45.258179 77.189479
    Oben rechts KachelX + 1 82015 KachelY 19915 0.78995217 1.34721056 45.260925 77.189479
    Unten links KachelX 82014 KachelY + 1 19916 0.78990423 1.34719993 45.258179 77.188870
    Unten rechts KachelX + 1 82015 KachelY + 1 19916 0.78995217 1.34719993 45.260925 77.188870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34721056-1.34719993) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dl = 67.723730000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34721056-1.34719993) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dr = 67.723730000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78990423-0.78995217) × cos(1.34721056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221727553284408 × 6371000     		do = 67.7213020402354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78990423-0.78995217) × cos(1.34719993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2217379186769 × 6371000     		du = 67.7244678979076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34721056)-sin(1.34719993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221727553284408-0.2217379186769)×R²
    abs(0.78995217-0.78990423)×1.03653924918568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03653924918568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03653924918568e-05×40589641000000     		ar = 4586.44637638856m²